今天读论文，读到了勒贝格测度（Lebesgue measure），不明所以故百度，稍做笔记以记之。
数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个
长度
、
面积
、或者
体积
的标准方法。它广泛应用于
实分析
，特别是用于定义
勒贝格积分
。可以赋予一个体积的集合被称为
勒贝格可测
；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作
λ(A)
。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了
巴拿赫-塔斯基悖论
这样的命题，它是选择公理的一个结果。
1.如果A是一个区间[a,b] , 那么其勒贝格测度是区间长度b-a。开区间(a,b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。
2. 如果A是区间[a,b]和[c,d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b-a)(d-c)。
3.康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称直积，表示为X×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。
假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
总而言之，笛卡儿积就是两个集合所有可能有序数对组成的集合。
-
Instabilities are not necessarily rare events. A key question
regarding instabilities with respect to tiny perturbations is
whether they may occur in practice. The example in Fig. 2
suggests that there is a ball around a worst-case perturba-
tion in which the severe artifacts are always witnessed. This
suggests that the set of “bad” perturbations have
Lebesgue
measure
greater than zero, and, thus, there will typically be a
nonzero probability of a “bad” perturbation. Estimating this
probability may be highly nontrivial, as the perturbation will
typically be the sum of two random variables, where one vari-
able comes from generic noise and one highly nongeneric
variable is due to patient movements, anatomic differences,
apparatus malfunctions, etc. These predictions can also be
theoretically verified, as discussed in SI Appendix, Methods.
并没有看懂文中是怎么得出勒贝格测度大于0这个结论的。
勒贝格测度？今天读论文，读到了勒贝格测度（Lebesgue measure），不明所以故百度，稍做笔记以记之。定义数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果
1、
测度
与外侧度：
测度
的背景：仅有连续函数和积分的古典理论并不足以解决数学分析的许多问题；由于黎曼积分在理论上具局限性，故需要将原有的积分定义进行改造；对于闭区间的正值连续函数，其积分就是平面曲边梯形的面积；而不可积函数这样的面积就不存在；所以我们需要将面积这一概念进行推广，使得更多的函数通过新的度量达到类似面积这样性质；
的开集度量：
中，开矩形的面积：；
中，开长方体的体积：；
中，开集/开长方体的体积：；
外侧度的背景：对于一般的点集，我们无法使用类似黎曼积分的分析方法（对分成份，以
文章目录第二章 lebesgue
测度
前言2.1 点集的Lebesgue外
测度
定义 2.1定理 2.1 （RnR^nRn 中点集的外
测度
性质）推论 2.2定理 2.4定理 2.5 （平移不变性）2.2 可测集与
测度
前言定义 2.2定理2.6（可测集的性质）定理 2.7（递增可测集列的
测度
运算）推论 2.8（递减可测集列的
测度
运算）Fatou 引理
第二章 lebesgue
测度
积分的定义以及一个函数的可积性，是与相应的下方图形面积如何确定以及面积是否存在密切相关的。于是，如果我们想要建立能够应用与更大函
我来试着写第一篇文章：介绍Lebesgue外
测度
的定义和性质Lebesgue外侧度定义性质
你好，这是我的第一篇文章。我才开始学习Markdown语法，目前还在探索阶段，因此这篇文章仅是个test，目的是熟悉一下写文章的流程以及练习一些Markdown语法，会比较简陋。
我将试着打出一段讲义。
Lebesgue外侧度
设E∈RnE \in \reals^nE∈Rn.若{Ik}\{I_k\}{Ik}是Rn\reals^nRn中的可数个开矩体，且有 E∈∪k≥1IkE \in \cup_{k \ge1
本文假定读者有基本的
测度
论知识,故仅对
测度
做简单介绍.
Definition 1 \text{Definition 1 }Definition 1 集合XXX的子集族τ\tauτ称为拓扑,若τ\tauτ满足(1)∅,X∈τ\varnothing ,X\in \tau∅,X∈τ;(2)可列元素的交的封闭性;(3)有限、可列、或不可列元素的并的封闭性.
这样(X...
$$L = 4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^2\sin^2{\theta}}d\theta$$
其中，$a$为椭圆长轴长度，$e$为椭圆离心率，$\theta$为
勒贝格
积分的自变量。
将椭圆周长的
勒贝格
积分转化为第一类
勒贝格
积分：
$$L = 4a\int_0^1\frac{\sqrt{1-e^2t^2}}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
然后用数值积分方法计算即可。这里给出 Python 代码：
```python
import scipy.integrate as spi
import numpy as np
def elliptic_perimeter(a, e, N=10000):
integrand = lambda t: np.sqrt(1-e**2*t**2) / np.sqrt(1-t**2)
integral, _ = spi.quad(integrand, 0, 1, limit=N)
return 4*a*integral
其中，`a`和`e`分别为椭圆的长轴长度和离心率，`N`为数值积分的分段数。使用该函数即可计算椭圆的周长。
### 回答2：
勒贝格
积分是一种数学方法，可用于计算椭圆的周长。椭圆的周长是一个重要的几何属性，它表示围绕椭圆周边的路径的总长度。
勒贝格
积分是指在
勒贝格
坐标系下对路径进行积分运算，从而得到周长的数值结果。
要计算椭圆的周长，我们首先需要确定椭圆的参数，包括长轴a和短轴b的长度。然后，我们可以将椭圆的周长表示为一个积分问题，其中路径可以参数化为一个关于角度θ的函数。在椭圆的极坐标系中，我们可以用参数方程x = a*cosθ和y = b*sinθ来描述路径。
然后，我们可以得到
勒贝格
积分的表达式，它由
勒贝格
测度
衡量路径的长度。积分表达式如下所示(Integral符号下有根号，上下限为0到2π):
∫(0到2π)√[(da*cosθ)² + (db*sinθ)²] dθ.
这个积分可以通过数值方法或解析方法求解，得到椭圆的周长。需要注意的是，在
勒贝格
积分中，我们使用了椭圆的长轴和短轴长度a和b进行参数化，从而得到路径长度的具体数值。
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