数学是不是很棒？这个短短的方程已可以表达了长长的一句 "数量对于时间的变化率等于增长率乘以数量"。

微分 方程可以形容人口变化、热量移动、弹簧震动、放射性物体衰变及很多其他现象。微分方程是形容宇宙里很多事物的正常并合理的方法。

怎样应用微分方程？

微分 方程是表达事物的好方法，但用起来并不容易。

所以我们在 解 微分方程时，尝试把 微分 方程转变为比较简单的代数式方程（没有微分）。这样我们便可以计算、画图、预测、等等。

例子：复利

钱赚利息。利息可以在固定时间计算，例如每年、每月等等，然后加在余额上。

这叫 复利 。

但若复利是连续计算的，在每一刻利息都会按比例加在当时的余额上。

余额越大，利息越多。

以 t 为时间、 r 为利率、 V 为当前的余额：

长期以来，很多了不起的人发现了一些 特别方法 来解 某些种类 的微分方程。

所以我先需要知道微分方程 的种类。

就好像旅行一样：乘搭不同的交通工具可以去不同的地方。 去邻近的地方，我们可以走路。有马路我们就可以开车。有河或海洋？我们要乘船了。在另一个银河系？不能去了！（至少暂时不能）

所以我们需要 把微分方程分类 。

第一个主要种类是：

"常微分方程"（ODE）只有 一个自变量 （像 y ）

"偏微分方程"（PDE）有两个或以上自变量。

我们在这里学的是 常微分方程 !

阶数与次数

接下来我们算出微分方程的阶数与次数：

阶数是 最高的导数 （是一阶导数还是 二阶导数 ？等等 ）：

+ y ² = 5x

这个微分方程只有一阶导数 ，所以是 "一阶"

最高导数是 d ³ y/dx ³ ，但没有指数（其实指数是 1，不过没有写出来），所以这是 "一次"。

（我们不算 dy/dx 的指数 2，因为它不是最高导数）。

所以这是 三阶一次常微分方程

小心！不要把阶数和次数混淆了。有些人说阶数，其实他们的意思是次数！

微分方程是 线性 的，若变量（和其导数）没有指数或与其他函数相乘。

所以， 没有 y ² 、y ³ 、√y、sin(y)、ln(y) 等等， 只有 y （变量）。

比较正式地说， 线性微分方程 是以这形式表达的：

+ P(x)y = Q(x)

好，我们把微分方程分类了，下一步便是解微分方程。

以下不是所有解微分方程的方法，但你可以用来做学习的起点：

分离变量法

解一阶线性微分方程

齐性微分方程

微积分索引x