其实波函数
（及其背后的线性代数）
，仅仅是我们对现有实验观测的一个模型。这一模型不见得唯一，也就是说，可能有另一个理论可以同样有效地描写我们的量子世界。这一模型也不见得正确，也许将来新的实验观测会和现有的模型矛盾。这将迫使我们构造一个新的模型，也就是发展一套新的理论，来描写我们的量子世界。
其实用范畴学的思路来理解我们的量子世界，就是要放弃波函数这一概念。这将有助于我们不受波函数的束缚，来进一步发展量子力学。
物理学中第3个例子，就是具有长程纠缠的量子物态。量子物态中的组分有可能有长程纠缠。这些长程纠缠的各种各样的构型，会给出各种各样不同的量子物态
[1]
。这就是量子物态中所谓的拓扑序
（见《
拓扑序：看世界的一种新视角 | 众妙之门
》）
。有长程纠缠的量子物态，是一类全新的物态，有各种想以前想不到的新现象。
陈谐顾正澄和我在一系列工作中提出了长程纠缠和对称保护序的概念，并发展了对称保护序的上同调理论。
长程量子纠缠及其对应的拓扑序，是一个全新的自然现象。我们到底应该用什么样的数学来描写这一新现象？近十几年来的研究发现，
张量范畴学和高阶范畴学正是描写长程纠缠
（拓扑序）
的数学框架
。其实拓扑序物态中的拓扑准粒子对应于范畴学中的“实体”
（object，即所谓的“客观存在”）
，而准粒子的交换、融合等操作，对应于范畴学中的关系
（morphism）
。张量范畴学正巧是描写拓扑准粒子的完备理论。它可描写拓扑序物态中的拓扑准粒子所具有的各种非常新奇的性质，如分数电荷、分数自由度、分数统计，甚至是非阿贝尔统计，等等。正是这些新奇的性质
（非阿贝尔统计）
，使我们可以用拓扑物态进行拓扑量子计算。
吴咏时指出分数统计（准粒子的交换操作）的数学基础是编织群表示。王正汉（右）及其合作者对简单的模张量范畴进行了完全分类。
通过范畴学，我们得到了对拓扑序
（即长程纠缠）
的全面理解和分类。比如在1维，没有非平凡的拓扑序，也就是说没有长程纠缠，只有短程纠缠。在二维，各种各样的拓扑序可以由一类特殊的张量范畴——模张量范畴——来一一描写
[2]
。在三维，各种各样的拓扑序可以由一类特殊的融合二阶范畴来一一描写
[3]
。
兰天、孔良、朱晨畅和我的一系列工作对三维拓扑序进行了完全的分类和构建。
4
代数拓扑在凝聚态物理中的应用
近代数学的另一重要分支——代数拓扑，也在凝聚态物理中有重要的应用。上面提到长程纠缠
（即拓扑序）
代表了一类新型的量子物态。那么长程纠缠的反面——短程纠缠，应当只能描写那些平庸的、没意思的量子物态。可最近十几年的研究揭示，如果系统有对称性，那么即使是没有拓扑序的短程纠缠的量子物态，也可以是非平凡的。这类非平凡短程纠缠态被称之为“
对称保护序
”。媒体中常说的拓扑绝缘体
[4]
，就是一种没有拓扑序，但有对称保护序的量子物态。虽然有短程纠缠的对称保护序，没有分数电荷，没有分数自由度，也没有分数统计，但它们会有非平凡的、可以导电导热的边界，这使之成为目前凝聚态物理研究的一个大热点。
Mele
和Kane在理论上发现了拓扑绝缘体
而代数拓扑中的上同调理论和示性类理论，正是描写这些短程纠缠
（即对称保护序）
的数学语言。这些代数拓扑理论使我们对一维有能隙的物态有了完全的理解和分类
[5]
，也使我们对高维的对称保护序有了完全的理解和分类
[6]
。
有很长一段时间，我们认为所有的物态都可以通过朗道的对称性和对称性破缺理论来理解
。为了理解这些物态，为了研究对称性，很多物理学生都学群论。现在我们意识到，还有很多新的物态是超越朗道对称性理论的。为了研究这些新的量子物态及其中的多体量子纠缠，今后许多物理学生，很可能还要学习范畴学和代数拓扑。
（其实目前已经有很多物理学生开始学习范畴学、代数拓扑等现代数学理论）
。这显示了数学物理的交融和并肩发展。新的数学进入物理，也意味着物理目前正在进行一场改朝换代的新革命。
1
.
陈谐，顾正澄，文小刚， Local unitary transformation, long-range quantum entanglement, wave function renormalization, and topological order, arXiv:1004.3835
2. 文小刚，Topological Orders In Rigid States, Int. J. Mod. Phys. B, 04, 239 (1990); Rowell, Stong, 王正汉， On Classification of Modular Tensor Categories, arXiv:0712.1377
3. 兰天，孔良，文小刚, Classification of {(3+1)D} Bosonic Topological Orders (I): The Case When Pointlike Excitations Are All Bosons, arXiv:1704.04221,
兰天，文小刚， Classification of {3+1D} Bosonic Topological Orders (II): The Case When Some Pointlike Excitations Are Fermions; arXiv:1801.08530;
朱晨畅，兰天，文小刚，Topological non-linear sigma-model, higher gauge theory, and a realization of all {3+1D} topological orders for boson systems, arXiv:1808.09394
4. Kane, Mele, Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect, cond-mat/0506581
5. 陈谐，顾正澄，文小刚，Complete classification of 1D gapped quantum phases in interacting spin systems; arXiv:1103.3323
6. 顾正澄，文小刚，Tensor-Entanglement-Filtering Renormalization Approach and Symmetry Protected Topological Order; arXiv:0903.1069; 陈谐，顾正澄，刘正鑫，文小刚，
Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group, arXiv:1106.4772.
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