相关文章推荐
慈祥的羊肉串  ·  152.图论- Zander_Zhao - 博客园·  1 月前    · 
慈祥的羊肉串  ·  名词解释— TuGraph 文档·  1 月前    · 
慈祥的羊肉串  ·  图算法系列（第二章图论和概念） - ...·  1 月前    · 
慈祥的羊肉串  ·  图论I - qAlex_Weiq - 博客园·  1 月前    · 
慈祥的羊肉串  ·  树_百度百科·  1 月前    · 
小百科  ›  数论_百度百科
图论 数论 解析数论 数学 哥德巴赫猜想
乐观的甘蔗
1 年前
数学理论或在较旧的使用中，叫做算术，是专门研究整数的纯数学的分支。它有时被称为“数学女王”，因为它在原理中的基础地位。数理论家研究质数以及由整数（例如有理数字）制成的对象的属性或定义为整数的概括（例如，代数整数）。
整数可以自己考虑或作为方程（Diophantine几何）的解决方案。通过研究以某种方式（分析数论）编码整数，素数或其他数论理论对象的分析对象（如Riemann zeta函数），通常最好地理解数论中的问题。人们还可以研究与有理数相关的实数，例如，由后者近似（Diophantine近似）。
数理论的较旧术语是算术。到二十世纪初，它被“数学理论”所取代（“算术”一词被普通大众用来表示“基本计算”，也在数学逻辑中获得了其他含义，如在数学理论中使用术语算术在二十世纪下半叶重新获得了一些地位，这可能部分是由于法国的影响力，特别是作为数理论的形容词，优选算术。
古希腊数学家——欧几里得
数论早期称为 算术 。到20世纪初，才开始使用数论的名称，而算术一词则表示“基本运算”，不过在20世纪的后半，有部份数学家仍会用“算术”一词来表示数论。1952年时数学家Harold Davenport仍用“高等算术”一词来表示数论， 戈弗雷·哈罗德·哈代 和 爱德华·梅特兰·赖特 在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”。
公元前300年，古希腊数学家欧几里德证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家 埃拉托塞尼 发明了一种寻找素数的 埃拉托斯特尼筛法 。寻找一个表示所有素数的素数 通项公式 ，或者叫 素数普遍公式 ，是古典数论最主要的问题之一。
数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪，是由 费马 ， 梅森 、 欧拉 、 高斯 、 勒让德 、 黎曼 、 希尔伯特 、 Heegner 等人发展的。
内容是寻找素数通项公式为主线的思想，开始由初等数论向 解析数论 和 代数数论 转变，产生了越来越多的猜想无法解决，遗留到20世纪，许许多多的困难还是依赖素数通项公式，例如黎曼猜想。如果找到一个素数通项公式，一些困难问题就可以由解析数论转回到初等数论范围。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，但是仍然没有找到素数产生的模式。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《 算术研究 》，公元1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。在《算术研究》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。高斯在这一著作中主要提出了同余理论， 并发现了著名的 二次互反律 ， 被其誉之为“数论之酵母”。
黎曼在研究ζ函数时，发现了 复变函数 的解析性质和素数分布之间的深刻联系， 由此将数论领进了分析的领域。这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家 哈代 、李特伍德、 拉马努金 等等。在国内，则有 华罗庚 、 陈景润 、 王元 等等。
另一方面， 由于此前人们一直关注费马大定理的证明， 所以又发展出了代数数论的研究课题。比如 库默尔 提出了 理想数 的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了复整数环的理论--即 高斯整数 。他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。代数数论发展的一个里程碑，则是 希尔伯特 的《数论报告》。
随着数学工具的不断深化， 数论开始和代数几何深刻联系起来， 最终发展称为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何， 它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来， 从更加高的观点出发，进行研究和探讨。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、 组合论 等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，有些国家应用“ 孙子定理 ”来进行测距，用 原根 和指数来计算离散 傅立叶变换 等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

数论 解析数论

借助 微积分 及 复分析 （即 复变函数 ）来研究关于整数的问题，主要又可以分为乘性数论与 加性数论 两类。乘性数论藉由研究积性 生成函数 的性质来探讨 素数分布 的问题，其中 质数定理 与 狄利克雷定理 为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题， 华林问题 是该领域最著名的课题。
解析数论 的创立当归功于 黎曼 。他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡 零点 的分布情况决定了素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在 复平面 上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设— 千禧年大奖难题 之一。值得注意的是， 欧拉 实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。
解析数论方法除了圆法、 筛法 等等之外， 也包括和椭圆曲线相关的模形式理论等等。此后又发展到 自守形式 理论，从而和 表示论 联系起来。
● 哥德巴赫猜想 ：是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和？
● 孪生素数猜想 ： 孪生素数 就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
● 斐波那契数列 内是否存在无穷多的素数？
●是否存在无穷多的 梅森素数 ？（指形如2 p －1的正整数，其中指数p是素数，常记为M p 。若M p 是素数，则称为梅森素数）
●1995年 怀尔斯 和 理查·泰勒 证明了历时350年的费马猜想（费马大定理）。
● 黎曼猜想
数论 是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。而整数的基本元素是素数（也称质数），所以数论的本质是对素数性质的研究。数论被高斯誉为“数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。近年以来数论研究获得了多项突破性 进展 ，这让数学界感到万分惊喜。
发现已知的最大素数
美国 中央密苏里大学 数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网 梅森素数 大搜索”（ GIMPS ）的国际合作项目，于1月25日发现了目前已知的最大素数——2 57885161 -1 （即2的57885161次方减1）。该素数是第48个梅森素数，有17425170位；如果用普通字号将它连续打印下来，其长度可超过65公里！ 美国数学学会 发言人迈克·布林宣称：这是 数论 研究的一项重大突破。
研究小组在大约1000台大学里的计算机上运行GIMPS的软件，每台计算机都不间断地用了39天时间证明2 57885161 -1是个素数。之后其他研究者也独立验证了这一结果。近年来，库珀通过参加GIMPS项目一共发现了3个梅森素数。
寻找梅森素数已成为发现已知最大素数的最有效途径。如今世界上有180多个国家和地区近28万人参加了GIMPS项目，并动用超过79万台计算机联网来寻找新的梅森素数。梅森素数是否有无穷多个？这是一个尚未破解的著名数学谜题。
证明“弱孪生素数猜想”
美国 新罕布什尔大学 数学家 张益唐 经过多年努力，在不依赖未经证明推论的前提下，率先证明了一个“弱孪生素数猜想”，即“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”。4月17日，他将论文投稿给世界顶级期刊《 数学年刊 》。美国数学家、审稿人之一亨里克·艾温尼科评价说：“这是一流的数学工作。”他相信不久会有很多人把“7000万”这个数字“变小”。
尽管从证明弱孪生素数猜想到证明 孪生素数猜想 还有相当的距离，英国《自然》杂志在线报道还是称张益唐的证明为一个“重要的里程碑”。由于孪生素数猜想与哥德巴赫猜想密切相关（姐妹问题），很多数学家希望通过解决这个猜想，进而攻克哥德巴赫猜想。
值得一提的是，英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。中国数学家 周海中 指出：要证明强孪生素数猜想，人们仍要面对许多巨大的困难。
解开“ 弱哥德巴赫猜想 ”
5月13日，秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特在 巴黎高等师范学院 宣称：证明了一个“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一个大于7的奇数都能被表示成3个奇素数之和”。他将论文投稿给全球最大的预印本网站（arXiv）；有专家认为这是 哥德巴赫猜想 研究的一项重大成果。不过，其证明是否成立，还有待进一步考证。
赫尔弗戈特在论证技术上主要使用了哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫圆法。在这一圆法中，数学家创建了一个 周期函数 ，其范围包括所有素数。1923年，哈代和李特尔伍德证明，假设 广义黎曼猜想 成立，三元哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的；1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫更进一步，在无须广义黎曼猜想的情形下，直接证明了充分大的奇数可以表示为3个素数之和。
英国数学家安德鲁·格兰维尔称，不幸的是，由于技术原因，赫尔弗戈特的方法很难证明“强哥德巴赫猜想”，即“关于偶数的哥德巴赫猜想”。如今数学界的主流意见认为：要证明强哥德巴赫猜想，还需要新的思路和工具，或者在现有的方法上进行重大的改进 。 （郑辉 作者系新加坡南洋理工大学教授 ）
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在 解析数论 、 丢番图方程 、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了 华罗庚 、 闵嗣鹤 、柯召、 陈景润 、 潘承洞 等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌 素数论 方面的研究是享有盛名的。
1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。陈景润、王元等在“ 筛法 ”和“ 哥德巴赫猜想 ”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩； 周海中 在著名数论难题—— 梅森素数 分布的研究中取得了世界领先的卓著成绩。 Fractal Geometry For Images Of Continuous Map Of p-Adic Numbers And p-Adic Solenoids Into Euclidean Spaces ．arXiv [引用日期2013-12-05]
  • "Applications of number theory to numerical analysis", Lo-keng Hua, Luogeng Hua, Yuan Wang, Springer-Verlag, 1981, ISBN 978-3-540-10382-0 被撬开的数论之谜 ．人民网 ．2013-06-28
  • "The Unreasonable Effectiveness of Number Theory", Stefan Andrus Burr, George E. Andrews, American Mathematical Soc., 1992, ISBN 978-0-8218-5501-0
    •  
    推荐文章
    慈祥的羊肉串  ·  152.图论- Zander_Zhao - 博客园
    1 月前
    慈祥的羊肉串  ·  名词解释— TuGraph 文档
    1 月前
    慈祥的羊肉串  ·  图算法系列（第二章图论和概念） - Neo4j 图数据库中文社区
    1 月前
    慈祥的羊肉串  ·  图论I - qAlex_Weiq - 博客园
    1 月前
    慈祥的羊肉串  ·  树_百度百科
    1 月前
    Link管理   ·   51好读   ·   Sov5搜索   ·   小百科
    小百科 - 百科知识指南