Black-Scholes Model，Binomial Model 和 Monte Carlo Simulation 在期权定价上分别起到什么作用？

试着回答下这个问题，有不足之处，欢迎各位知友讨论。

Black-Scholes模型是在1973年由芝加哥大学Black和Scholes提出的，其中涉及到著名的Black-Scholes偏微分方程。此微分方程在数学上为抛物型对流扩散（parabolic convection diffusion）方程，变量为原生资产（underlying asset，如股票等）和时间，参数为波动率和利率，均假设为常数。如果加上边界条件（期权在股价为0处的价格，以及在股价无穷大处的价格）和终值条件（期权在到期日的价格），那么，基于Black-Scholes模型欧式期权价格是可以通过偏微分方程的解析解得到。

看到不少知友在这个问题上有争议。 Black-Scholes方程 确实只能用于求解欧式期权定价，但是，美式期权定价是可以基于 Black-Scholes模型 。这就意味着，由于可以提前实施，美式期权定价在数学上不是简单的求解一个偏微分方程问题，而是更为复杂的变分不等式（variational inequality）问题，或者互补问题（complementarity problem）。这些变分不等式或者互补问题，可以基于Black-Scholes微分算子。

Binomial模型，或者Binomial Tree模型，中文翻译为二叉树模型，实际上是属于Tree模型的一类。Tree模型还有Trinomial Tree（三叉树）模型，Willow Tree（柳树）模型等。二叉树模型最早由Cox，Ross和Robinstein在1979年提出的，是一种数值定价欧式或美式期权的方法。相对于微分方程模型，树模型引入离散时间（discrete time），可以视为是对连续模型的离散化逼近。

实际上，数值方法都是对连续模型的离散化逼近，在有限维的空间里寻找对真实解的近似。比如有限差分方法，有限体积法和有限元方法。因此，早就有学者证明（直观上也很容易理解），二叉树方法不过是一种特殊的显式有限差分格式。

期权定价的数值方法包含两大类，一类是确定性方法，比如有限差分方法和（二叉）树方法等，另外一类是随机方法，也就是Monte Carlo模拟。下面说说这两类方法的优缺点。

对于空间方向为5维以下的期权定价模型，比如Black-Scholes模型，Heston随机波动率模型，Kou或Merton的Jump-diffusion模型，文献中通常推荐采用确定性方法数值求解。这是因为确定性方法的精度比较高，且在理论上可以估计。相比于随机模拟的不确定性，差分方法的数值结果总是固定的，不会随着实验次数而改变。欧式期权的离散对应为每个时间层上一系列方程组的求解，美式期权则对应每个时间层上一系列线性互补问题的求解，都已经有成熟的高效算法可以应用。有限差分方法还有个优点在于，一旦求解出期权价格，可以很方便的求解期权的风险指标，如Delta，Gamma等。

诚如知友所言，当模型维数大时，确定性方法，尤其是有限差分方法等，数值离散后的规模随着离散节点的增加呈现指数级增长，也就是所谓的维数灾难。对于高维问题，如多资产的期权模型，无论是理论还是实际中，都没人会考虑用确定性方法。我从文献中总结的经验是，当模型空间方向高于3维时，有学者就考虑采用交替方向法之类的降维方法进行求解，也就是把一个多维问题，分解成若干个一维问题（Black-Scholes模型）求解。

这就是为什么业界用的最普遍的方法还是Monte Carlo方法。对于path-dependent（路径依赖）的各类奇异期权，以及multi-asset（多资产）期权模型，Monte Carlo方法直观有效。从理论上说，随机模拟方法效率和精度很低，但Monte Carlo算法中模拟路径部分相互独立，因此可以并行计算。通过大幅度提高随机次数，可以达到所需的精度。

Monte Carlo方法有多慢？根据数值上的精度估计，Monte Carlo数值解误差与随机次数开根号分之一同阶。也就是说，若数值解要精确到小数点后面1位，需要试验100次；要精确到小数点后面2位，需要试验10000次；要精确到小数点后面3位，需要试验10^6次等等。国内外都有很多学者考虑对Monte Carlo随机模拟作加速，比如方差减小技术，控制变量技术等等。参见大牛

@袁浩瀚

的回答“数学类第3题：提出至少三种Monte Carlo Simulation的Variance Reduction方法，并简单描述如何实现。”

为了避免模型的数值离散随着维数增大而计算量急剧增大，除了采用Monte Carlo方法外，还可以采用无网格方法。区别于有网格方法（Lattice Method），无网格方法离散得到的问题规模仅与节点基函数的个数有关，与PDE维数无关。在我看来，这将是期权定价数值研究的新方向。由于和问题无关，这里不展开讨论了。