离散数学笔记-代数系统（群与环）

温暖的棒槌

飞向深空

代数系统也称为近世代数，简称代数。

一、代数系统：

封闭性是数学运算的非常重要的性质。对于集合S及S上定义的运算。，如果其中任意两个元素在进行。运算后，结果仍在S中，则称集合S对于。是封闭的；比如：整数集上的加法剑法乘法都是封闭的，除法则不是。

设A为任意集合，一个从 A^{n} 到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果 B\subseteq A ，则称该n元运算是封闭的。
集合上的运算不仅指的是数值之间的运算，还可以定义非数值之间的运算，甚至可以定义抽象意义上的运算。
。：代表的是一种运算，也可以用其他符号代替。
一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算 f_{1},f_{2},f_{3}...f_{k} 所组成的系统，成为 代数系统 ，简称为代数系统，记作：< A，f_{1},f_{2},f_{3}...f_{k} >。
性质：设A为任意非空集合，*和。是集合上的二元运算，对 \forall a ,b,c \in A ,

若 a * b \in A ,则称运算 * 关于集合是封闭的；
若 a * (b *c) = (a * b) *c ,则称 * 在集合A上是可结合的，或称运算 * 在A上满足结合律；
若 a * b = b * a ,称运算 * 在A上是可交换的，或运算 * 在A上满足交换律
若 a*a =a ,则称运算 * 在A上是可交换的，或称运算 * 在A上满足幂等律。
若： a。(b * c)=(a 。b)* (a。c)和 (b * c)。a=(b。a) * (c。a)成立，则称运算。满足*是可分配的，或称运算。和* 满足分配率
若。和*满足交换律，而且有 a。（a*b）=a和a*(a。b)=a,则称运算。和*是可吸收的。满足吸收率

设 * 为集合A上的二元运算，若存在 e_L \in A, 使得对于 \forall x \in A,都有 e_L * x = x, 则称e是A中关于 * 运算的左么元。类似的定义右么元。如果e即是右么元又是左幺元，则称幺元或 单位元。
设 * 是定义在集合A上的二元运算，如果一个元素 O_{l} \in A ,对任意元素 x \in A ,都有 x * O_{l} = O_{l} ,则称 O_l 是A中关于运算*的左零元；同理定义右定远。即是左零元又是右零元则称零元。

设 * 是定义在集合A上的二元运算，在A中存在关于运算 * 的左幺元设 e_{l}和右幺元e_{r},则e_{l} =e_{r}=e, 且A中的幺元是唯一的。零元同理
设代数系统 <A, *> 中，|A|>1.若代数系统中存在关于运算 *的么元e,和零元O，则 e\ne O

设代数系统 <A,*>中，e是关于运算 *de 幺元。若对A中某个元素a,存在A的一个元素b,使得 b*a=e ,则称b为a的左逆元。同理右逆元。即左即右则是逆元记作 a^{-1} .
设代数系统 <A,*>,这里的* 是定义在A上的二元运算，A中存在幺元e,且每个元素都有左逆元。如果*是可结合运算，那么这个代数系统中任何一个元素的左逆元必定等于右逆元，且每个元素的逆元都是唯一的。
代数系统的幺元和零元，称为 特异元素 或 代数常数 。
如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数（即几元运算）也相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称他们是 同类型的代数系统 。
设 V=<S,f_1,f_2,...,f_k>是代数系统，B \subseteq S,且B对于f_1,f_2....f_k都是封闭的， B和S还含有相同的代数常数，则称 <B,f_1,f_2,...f_k>是V的子代数系统，简称子代数

二、半群

群是具有一个 二元运算 的抽象代数；半群与群在形式语言、快速加法器设计、纠错码定制和自动机理论中都应用。环是具有两个二元运算的代数系统，他和群以及版权都有密切的关系。

给定 <S,\odot>,若\odot 满足结合律，则称<S,\odot>为半群

（ \odot ：同或运算，两个变量同时相等则为真）

半群就是由集合及在此集合上的一个具有集合率的二元运算组成的代数系统。半群就是非空集合S以及一个定义在S上的可结合的二元运算 \odot 。如果 \odot 是一个可交换的二元运算，则称半群<S, \odot >是一个可交换的半群。

给定<S, \odot >，若<S, \odot >是半群且 \odot 是幺元或 \odot 满足结合律且拥有幺元，则称<S, \odot >为 独异点或含幺半群或拟群

幺元：即单位元，即合理的特殊元，他与其他元素结合后并不会改变原元素，若a* e=a,称右幺元；若e * a=a,称左幺元；若 a*e=e*a = a 称e为幺元

给定半群<S, \odot >和g \in S,以及自然数集合N，则g为<S, \odot >的生成元有：（\forall）(x\in S\rightarrow (\exists n)(n\in N\wedge x=g_n)) .此时也说，元素g生成半群 <S,\odot> ,而且称半群为 循环半群 ，g为生成元。
子半群：类似于子群
定理：设 <S,*>是独异点，对于\forall a,b \in S,若a,b均有逆元，则：

三,群

概念： 设 <G,*> 是一个独异点，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，对于 \forall x \in G都有逆元x^{-1}存在，则称<G,*>是一个群；（即四个条件：封闭性，结合律，存在幺元，每个元素右逆元）
平凡群：<G,*> 是一个群，如果G是有限集，则称 <G,*> 有限群，G中元素的个数称为该有限群的阶数，记作|G|,特别的，若群G中只含有一个元素，即G={g},|G|=1,则称G为 平凡群。
设 <G, * > 是一个群，若运算 * 在G上满足交换律，则称G为 交换群 或Abel群。
设 <G, * > 是一个群，e是幺元， \forall a \in G,n \in Z, 定义a的n次幂....
设 <G,*> 是群，e是幺元.对于 a \in G,使得a^k=e,成立的最小正整数k称为a的阶，记做|a|, a称为k阶元(如果*换成加法+，则ka=e,k阶元) 。若不存在这样正整数k，则a称为无限阶元。
设 <G,*> 为群， Va,b \in G,\forall n,m \in Z,有

在集合上定义的运算个数可以是一个，也可以是多个。例如整数集上的可以定义加法、减法、乘法及取模。群定义仅包含定义在集合上的一个二元运算，本节拓展运算个数。集合上定义连个二元运算，并让两个运算之间满足一定的性质。

编辑于 2021-02-01 20:30