通过构造迭代函数证明数列的单调性
通过递归公式
\(x_{k+1}=f(x_k)\)
得出迭代函数
\(y=f(x)\)
，然后对其在定义域内求导(如果定义域已知的话)，观察其在定义域内是否恒大于0。
如果
\(f^{(1)}(x)\gt0\)
恒成立
如果此时
\(x_2\gt x_1\)
，根据
\(x_2=f(x_1)\)
，
\(x_3=f(x_2)\)
，然后结合是
单调增函数
可知
\(f(x_2)\gt f(x_1)\)
，即有
\(x_3 \gt x_2\)
。根据数学归纳法不难证出
\(\{x_n\}\)
是单调
递增数列
；
如果此时
\(x_2\lt x_1\)
，根据
\(x_2=f(x_1)\)
，
\(x_3=f(x_2)\)
，然后结合是
单调增函数
可知
\(f(x_2)\lt f(x_1)\)
，即有
\(x_3 \lt x_2\)
。根据数学归纳法不难证出
\(\{x_n\}\)
是单调
递减数列
；
如果此时
\(x_2\gt x_1\)
，根据
\(x_2=f(x_1)\)
，
\(x_3=f(x_2)\)
，然后结合是
单调减函数
可知
\(f(x_2)\lt f(x_1)\)
，即有
\(x_3 \lt x_2\)
。这是一个
左右横跳
的数列，
不单调
；
如果此时
\(x_2\lt x_1\)
，根据
\(x_2=f(x_1)\)
，
\(x_3=f(x_2)\)
，然后结合是
单调减函数
可知
\(f(x_2)\gt f(x_1)\)
，即有
\(x_3 \gt x_2\)
。这是一个
左右横跳
的数列，
不单调
；
