数学学科知识与教学能力（高中）部分知识点

一、高中数学新课标解读

@党的十九大明确提出：要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。

@数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养。

@高中数学课程的基本理念

1、学生发展为本，立德树人，提升素养

2、优化课程结构，突出主线，精选内容

3、把握数学本质，启发思考，改进教学

4、重视过程评价，聚焦素养，提高质量

@学科核心素养

1、数学抽象

2、逻辑推理

3、数学建模

4、直观想象

5、数学运算

6、数据分析

@通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的 数学基础知识 、 基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。

二、教学知识

@中学数学教学原则

1、抽象和具体相结合的原则

2、严谨性与量力性相结合的原则

3、理论与实际相结合的原则

4、巩固与发展相结合的原则

@中学数学教学方法

讲授法、访谈法、讨论法、练习法、演示法、自学辅导法、发现法

@教学方法的选择

选择教学方法的总原则是“不愤不启，不悱不发”。具体来说，选择教学方法要考虑多方面的因素。

1、教学方法的选择要考虑教学目标

2、教学方法的选择要考虑教学内容的特点

3、教学方法的选择要考虑教学条件

4、教学方法的选择要考虑学生的实际情况和教师自身的特点；

5、教学方法的选择要考虑数学方法的特点，将各种教学方法有机结合起来。

@数学教学过程

备课

课堂教学

作业批改和考试

数学课外活动

数学教学评价

@课堂教学的五个环节

导入

新授，讲授新课是教学的中心环节

练习和巩固

小结

布置作业

@数学教学过程的基本要素（影响数学教学效率的三个主要因素）

教师

学生

数学教学中介

@中学数学教学过程要处理好几种关系

1、间接经验和直接经验的关系

2、“预设”与“生成”的关系

3、数学知识技能的掌握与能力发展的关系

4、教师主导作用与学生主体性的关系

5、面向全体学生与关注学生个体差异的关系

6、合情推理与演绎推理的关系

7、使用现代信息技术与教学手段多样化的关系

@中学数学学习方式

1、接受学习和发现学习

2、合作学习

3、自主学习

4、探究性学习

@基础教育课程改革从“一切为了每一位学生的发展”出发，重视学生的主体性，对师生关系提出了新的要求。新课程理念下师生关系具有以下特点：

1、新课程改革下师生应当是民主平等、互相尊重的关系

2、新课程改革下师生应当是和谐融洽、充满浓郁感情色彩的关系

3、新课程改革下师生应当是互相学习、共同发展的关系

@概念的本质

概念是反映事物本质属性的思维形式。其中，本质属性是指这类事物特有的，是一种事物区别于另一种事物的根本依据。概念教学是中学数学至关重要的一个环节，是基础知识和基本技能教学的核心。

@概念的内涵和外延

概念的内涵是指概念所反映的这类事物的共同的本质属性的总和，概念的外延是指概念所反映的这类事物的全体。内涵是概念质的方面，外延是概念量的方面。

概念的内涵与外延是相互联系、相互制约的。当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，成为“反变关系”。

@概念间的关系

学科中所提到的概念间的关系是指概念外延间的同异关系。在形式逻辑中，基于两个概念外延交集是否为非空集合，可以分为相容关系和不相容关系。其中相容关系是指两个概念的外延交集是非空集合，即外延至少有一部分是重合的。而不相容关系是指两个概念的外延交集为空集。

相容关系的分类：

（1）同一关系

（2）交叉关系

（3）从属关系（包含关系）

不相容关系：

（1）对立关系

（2）矛盾关系

@概念的定义

1、属加种差定义法

2、揭示外延的定义方法

@概念获得的两种方式

概念形成：学生由大量的同类事物的不同例证中，独立发现同类事物的关键特征；

概念同化：直接向学生展示定义，利用原有认知结构中的有关知识理解新概念。

@概念教学亦有两种类型：

1、呈现一系列具体事实或例子，概括出新概念，帮助学生形成概念

2、利用学生掌握的知识经验，让学生同化新概念。

@概念教学的一般过程

1、引入概念

2、明确概念的内涵、外延

3、巩固概念

4、应用概念

@命题教学的一般过程

1、引入

2、明确

3、证明

4、应用

@问题解决的教学

基于问题解决分为两大类：纯粹数学问题的解决和创造性运用数学方法的非常规问题的解决。问题解决的教学也分为纯粹数学问题解决的教学与非常规问题解决得教学。前类问题得教学要恰当运用波利亚怎样解题表，而后类要基于提出问题、建立数学模型、评价与检验数学模型的思路去开展教学。

@波利亚怎样解题表

1、分析题意

2、拟定计划

3、执行计划

4、回顾

@构建数学模型的问题解决教学

1、模型准备

2、模型假设

3、模型建立

4、模型求解

5、模型分析与检验

三、教学设计

@数学教学设计是在新课程标准的指导下，以现代教育理论为依据，基于对学生需求的理解、对课程性质的分析，对教学手段、教学方法、教学活动等进行规划和安排的一种可操作的过程。可以说科学的教学设计是有效教学活动的前提，是提高教学质量的保证。

新课程标准对教学设计的要求 ： 新课标指出“数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展”。因此，我们的课堂教学设计“要适应学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识与基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养学生应用意识和创新意识，并使学生在情感、态度与价值观等方面都得到发展”。同时我们的课堂教学设计“要符合数学本身的特点，体现数学的精神实质；要符合学生的认知规律和身心特征，有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”。

新课标要求我们的数学必须使得“ 人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展 ”。

@高中数学教学设计的准备

1、学习新课程标准

2、全面深入了解学生

3、认真分析教材

4、熟悉数学史

所谓 数学思想方法 是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点。在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，是在提出问题、解决问题过程中，所采用的各种方式、手段和途径。

@常用的数学思想方法

1、数形结合思想

2、转化思想

解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为已知”。

3、分类讨论思想

4、函数和方程思想

函数与方程的思想实际上就是一种模型化的思想。

5、类比思想

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。

@高中数学教学设计的基本过程

1、吃透教材——教材分析

要做到“走进教材，又走出教材”

（1）本节内容在教材中的位置

（2）教材的主要内容

（3）教材地位和作用

2、诊断学生，做到知彼——学情分析

（1）学生已有认知水平

（2）学生年龄的特征、认知规律

3、合理制订三维目标

《普通高中数学课程标准》提出的三维教学目标是： 知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。

知识和技能 目标包括学生要知道、了解、理解的基础知识、基本原理目标和学生必须达到的基本技能目标； 过程与方法 目标包括实现数学科学中的探究过程和探究方法、优化学生的学习过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验； 情感态度和价值观 目标中包括学习兴趣与热情、战胜困难的精神、认识数学之美感和塑造学生的人格。

教学设计时教师要依据教材的具体内容，结合学生的学习实际，以促进每一位学生的发展为本，合理地制订三维目标，注意体现三维目标的整体性，相辅相成。

4、明确重点与难点

所谓重点，指一节课中最重要的新知识，即联动全局，带动全面的重要之点，是学生认知发生转折与质变的地方，是教学的重心所在，是课堂教学中需要解决的主要矛盾。所谓难点是一节课中学习起来最困难的地方，是学生的认知能力与知识要求之间存在较大矛盾、知识跨越最大的地方，是学生难于理解和掌握的内容。

5、选择合理的教学方法

常用的教学方法有讲授法、谈话法、讨论法、发现法等，确定教学方法的指导思想是 回归学生的主体地位 。

6、精心设计教学过程

课堂基本环节包括 导入新课 、 讲授新课 、 巩固练习 、 课堂总结 以及 布置作业 这几个环节。

@ 课堂导入 的几种类型

（1）情境导入

（2）故事导入

（3）悬念导入

（4）复习导入

新课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验之上”。数学知识的系统性很强，任何新知都是前面知识的发展和升华。

（5）实物演示导入

（6）数学史导入

@ 设计新知识形成过程 的几种类型

课堂教学中有了良好的导入后，最关键的环节是新知识的形成过程。

1、借助于生活中的实例设计知识的形成过程

2、借助于旧知识设计新知识的形成过程

3、用发现法设计新知识的形成过程

4、让学生在实际操作中形成新知识

5、利用形象思维设计新知识的形成过程

@ 巩固练习 的设置

巩固知识主要是对所学知识的复习和巩固，好的巩固环节能够帮助学生加深对知识的理解和把握。在设置练习时，要注意层次性、难度适当、突出重难点。

@ 课堂小结 要与三维目标相呼应

三维目标是课堂教学的出发点和归宿，课堂小结时要回应三维目标，要在教师的引领下由学生合作完成小结。包括（1）在知识和技能方面的收获；（2）教学中是怎样研究学习和知识的，怎样融合重点与难点的突破于其中；（3）提炼价值，升华情感。最后教师最好用知识网络的形式给以最后的总结。

@ 作业布置 要新颖

教学过程的最后是作业布置，在布置作业时，注意围绕知识，突出重难点，并且要体现出新颖性和可操作性。

@设计意图

教学过程中的每个环节都有各自的设计意图。

四、教学实施

@课堂导入

导入的目的 ：导入是新课开始之初，引导学生快速进入学习状态的教学活动。一个导入的好坏对教学由决定性的作用。好的导入可以集中学生注意力，激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维能力，明确本节课的教学目标。

导入的原则：

1、目的性和针对性

导入要针对教学目标，突出教学重点、难点。在实施时，要结合学生的兴趣爱好来进行设计。

2、趣味性和启发性

具有启发性和趣味性的导入能够引导学生发现问题，并且能够激发学生学习兴趣，创设学生感兴趣的情境，启发学生进行思考。

3、科学性和系统性

导入在设计时要保证导入内容的科学性和准确性，并且导入内容和教学内容之间要保证系统性。

@数学课堂提问技能的运用原则

1、提问内容要有层次性

2、要有创造性和启发性

3、提问方式要多样化

4、提问时注意提问的态度、面向全体

@数学课堂提问的类型

1、记忆型提问

2、理解型提问

3、应用型提问

五、教学评价

@数学教学评价的功能

1、导向功能

设立的评价标准和指标体系本身就是一种导向机制，体现着评价对象的奋斗方向和目标。通过它的引导，可以朝着设计者预设的方向前进，体现出明显的导向功能。

2、反馈功能

通过评价可以客观衡量教学的双边活动是否达到教学中各项要求。教师从中获得反馈消息，可以更科学地组织教学，使教学过程处在动态平衡的良性循环中运行。学生从评价中获得反馈信息，可以更自觉地调节自己的努力方向，有目的地提高学习效率。

3、激励功能

通过数学教学评价，可以帮助教师及时获取大量的信息，使其认识到自己的成就与不足，进一步发现成功与失败的原因，了解到个人自身教与学存在的差距，从而有利于激发被评价者的内驱力，开发个人潜力，调动奋发向上的精神，从而达到激励先进，鞭策后进的目的。

4、改进功能

评价的目的不在于证明，而在于改进现状，这是对评价的最好解释。通过数学教学评价，被评价者可以达到评价目标的自我矫正和自我调节，有助于改进教学，实现教学过程的整体优化和完善；通过对学生学习成绩的考评，学生本身也必然会进一步改进学习方法，提高学习的自觉性。

@教学评价的类型

1、根据所参照的目标的不同

（1）相对性评价 （如中考、高考）

（2）绝对性评价 （如初高中学业水平考试）

（3）个体内差异评价 （如评选进步奖）

2、按照评价的时机和目的不同

（1）诊断性评价 （如开学时的摸底考试）

（2）形成性评价 （课堂提问、单元测验、期中或期末考试）

（3）终结性评价 （学期、学年结束时，进行终结性评价，不仅评定学习成绩，对后阶段学习还具有预测、评估的作用）

@教学评价的标准

数学新课程课堂教学最大的特点是 以学生的发展为中心 ，所以数学课堂教学评价的理念应是以学生的“学”评价教师“教”。为此，需要在课堂教学的评价中，突出以下三方面的评价标准：

1、面向全体学生

这是提高全民族素质的要求，使未来社会的公民能适应社会发展的需求。为此，一要把握教学目标，正确处理基础和发展的关系，使所有学生的数学基础能力普遍提高；二要实施因材施教，让每一个学生学习更好的但有区别的数学，使不同学生的各种数学需要得到充分发展；三要保证学生参与学习的时空，使每一个学生都有必需的学习机会和学习时间。

2、学生全面发展

在数学课堂上，要使学生在知识、能力、情感几方面都获得发展。

知识——要给每个学生提供基本的数学概念、数学方法和数学思想。

能力——要提高学生数学抽象的能力、数学符号变换的能力和数学应用的能力，使每个学生的数学基础能力得到普遍提高。

情感——要让每个学生都会用自身的情感体验和主动参与数学学习，增强学生的自信心。

3、提高自主学习能力和自我发展能力

教育的根本目的就是为了促使学生的发展，学生的发展在很大程度上取决于主体意识的形成和主体参与能力的培养，为此，一要从学生实际出发，使学生学习数学成为一个连续不断地同化新知识、构建新意义地过程；二要让学生自主学习，注意学生学习自行获取数学知识的方法，学生主动参与数学实践的本领，通过自身的操作活动和主动参与的做法去学习数学；三要注重学生的个性发展，培养学生的创造能力。

@在评价数学课堂教学时，应始终贯穿教师教的思想和学生学的活动这两条主线。课堂教学评价涉及多方面的内容，一般包括：教学目标、教材的处理、教学方法、教师行为、学生行为、教学效果等。只有从多方面入手考察，才能对课堂教学作出较为全面的分析和评价。

@课堂教学评价方法一般有： 观察法、访谈法、测验法 、问卷调查法、表现评定等。

@数学学习评价是指有计划、有目的地收集有关学生在数学知识、使用数学的能力和对数学的情感、态度、价值观等方面的证据，并根据这些证据对学生的数学学习状况或某个课程或教学计划做出结论的过程。

@对不同类型的数学学习目标的评价

1、数学双基

对数学双基的评价重要的一点是 评价学生是否真正了解这些知识或技能操作背后所隐含的数学意义 。对于学生学习概念不应从定义开始，而是应该通过动手操作、画图或者应用，将这个概念和其他概念联系起来，形成彼此相连的命题网络。同样对于技能的学习也需要在规则和具体的操作之间建立实际的联系，让学生不仅会操作，而且明白期中的道理。正确评价学生的数学基础知识和基本技能，要 注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧 。

2、数学学习过程和方法

相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。对学生数学学习过程的评价， 包括学生参与数学教学活动的兴趣和态度、数学学习的自信、独立思考的习惯、合作交流的意识、数学认知发展水平等方面 。

3、情感态度和价值观

对学生这个方面的评价最有效的方法就是 数学日记 ，让学生通过写数学日记，记录自己在数学学习时的感受。

@数学学习评价方法

1、测验法

数学测验的统计指标有效度、信度、难度和区分度。

（1）效度表示的是一个测验有效性的指标，也是该测验正确性的反映，它说明测验的结果在多大程度上反映了该测验所要达到的测验目的。数学测验的效度一般是指内容效度，所谓内容效度指测验内容或材料在多大程度上可以反映测验目的所规定的应试者的某些能力，这和设计测试题有极大关系。

（2）信度表示对同一群受验者在同一测验上经数次测验结果的同一性和稳定性程度。信度和效度既有区别又有联系：信度不涉及测验是否正确地反映测验目的问题，它所反映的只是测验结果是否稳定和一致。它们之间的联系可以说信度是效度的一个必要条件，即对一个测试来说，如果没有相当的信度（即不可靠），那就无效度可言了。但若有信度，也未必有效度。因为信度高的测验并不一定能表示测验是正确的。

（3）难度是指试题对被试者的难易程度的数量指标，一般记为P，P值越大，表示试题越容易；P值越小，表明试题越难。一般考试的难度选取0.6~0.8为宜。

（4）区分度又叫鉴别度，是考核被试者作答反应的鉴别程度，反映试题对不同学生进行区分的特征，是区分学习者对试题回答程度的数量指标。

2、观察法

3、成长记录袋

根据教学目标的要求，将各科有关学生表现的作品及其他证据收集起来，通过合理地分析与解析，反映学生在学习与发展过程中的优势与不足，反映学生在达到目标的过程中付出的努力与进步，并通过学生的反思与改进，激励学生取得更高的成就。

成长记录袋作为数学学习评价结果的一部分，具有以下几个优点：使学生参与评价，成为评价过程的一部分；使学生、家长和教师形成对学生进步的新看法；促进教师对表现性评价的重视；便于向家长展示，给家长提供全面、具体的关于孩子数学学习情况的证据；提供诊断用的特殊作品或成果，为实施因材施教提供重要依据；汇编累计学生的学习证据和看法，全面了解学生的数学学习过程。