读物：我为什么选择了代数几何和数论 + 尾声

编号：9

此文乃转载，出处不考，隐去了一些个人信息（若有漏网之鱼，欢迎指出来）。如有问题，可以删除。我一直认为代数几何是最漂亮的学科之一，它在表示论、复几何 / Hodge理论 方面有着大量应用，产生了不少漂亮结果，发展出无数分支（双有理几何，曲面几何.....），抽象的未解决问题引人入胜，具体的例子也十分有趣。即使别的领域已经陷入停滞，发展缓慢，代数几何也不会失去活力。

文中提到的则是使用代数几何做数论问题，重要的是代数几何技术的应用。数论方面我不了解难以述说，请见原文，重要的是那种热情。

（补作者主页上的一段话：由于代数数论和算术代数几何领域入门过程相对比较长，需要的预备知识相对比较多，所以让人看起来有一种高端大气上档次的感觉，其实到了 做研究要创新的那一刻每个方向都一样的难 。 不要因为这是一个站在数学鄙视链顶端的方向而选择这个方向，年轻时小小的虚荣心可能会让你日后后悔当初的选择。 ）

在此特别推荐。

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趁着一丝冲动记下一些经历，也趁着现在还能想起来，写写路途中遇到的人和碰到的一些书。

其实标题起得不准确，怎么样也不能叫做“选择”，现在做代数几何数论这个方向其实有好多好多偶然。其实更多是回忆学生时代的我是怎么学代数几何和数论。

现在回忆起来我这个人貌似不是目的性特别强，但不知道怎么的，走着走着最后做着代数几何和数论的研究还混得不算太不堪，这方向看起来很高不可攀的样子，其实没有想象中那样，现在回想起来就是误打误撞，只能算是缘分。倒是现在我很认真的回想一下怎么我就走上这条路了。

考大学时第二志愿进了武大，服从分配去了自动化系。其实一直想去的是数学系，从高中时就一直挺喜欢数学，特别是平面几何，觉得作几条辅助线漂亮的证一个命题特别有意思。当我妈还在后悔当初怎么就没能让我接受复旦或南开的数学系保送的时候，我就心里起了转系的念头，还是想去学数学。原因挺直接的，就是学了半个学期，感觉在自动化学到的课程太简单了，几乎不用动脑筋就搞定了，这样太没挑战性了。

那时候转系和现在相比还不是个特别容易的事情，连个正式的转系程序都没有特别明确，我只是看了学生手册上一句话提到了可以转系！于是我就不知天高地厚的去了。。。其实到了后来实际办手续的时候，才了解到转的人基本上是从冷门专业转到一些热门专业，也不需要什么成绩要求，就交钱，然后教务处签名。这其实完全在我想象之外。我那时想的特别简单，就自己自学数学分析，到了期末到数学院的数学基地班参加数学分析的期末考试，我还记得我考了95，几乎是最高分。考完后我就跟带这门课的老师说了我想转数学系想来基地班学数学。之后办了一通行政手续，找各式领导签了不下十个名字。我当时就想，如果让我交钱我就不转了，爸妈即使再有钱也不是这样花的，其实爸妈基本不知道我转系的事，我就只是学期中跟他们提了一下我想转，然后转好了再通知了他们一下。有点没想到的是签名过程居然算是顺利，数学系那边显然吴老师跟我说了不少好话，我没遇到什么阻拦，自动化那边倒是劝说转数学系干嘛，还不如转软件学院呢。

当我把最后一步办好了，那个行政老师发现我根本没交过一分钱却拿到所有签名一脸惊讶，还当面打电话给教务部验证了，她放下电话那一刻我的心才算是真正放了下来。这样我终于来到了数学系，向数学走近了一步！武大还算是个有良心的学校，不至于打击一个为着自己兴趣而不是为着更容易就业而学习的学生。

不过，我还不能直接到数学院特殊关照的基地班，只能先到应用数学班，不过数学院内部只要成绩好就能转入基地班这是很明确的。虽然我是应用数学班的，但基地班每门基础课都是单独开课，于是我就完全不顾应用数学那边上什么课，全到基地班上课和考试，这是因为我很明白一点：只要我考得足够好，有任课老师的大力支持，教务那边的乱七八糟的手续我压根不用去管，任课老师们自然会帮我摆平，事实证明我想对了。

接下来那个学期我特别努力学习，之前缺了一个学期的线性代数课，我自己努力恶补。恰好碰上任课老师是法国毕业的，他的教法就法国人那套，先讲群，然后线性空间，然后再到矩阵。其实这对于我而言特别难接受，不过这是硬着头皮啃下来的。这是我第一次接触法国式的数学，一点好感也没有。线性代数老师却给我留下很深的印象，他笑得特别甜特别纯真，我想是不是学数学的人就是这样的。我第一次从他那知道有个叫latex的东西，但我对他说这东西特麻烦，还不如用word。教习题课的助教也是法国毕业的，是个女老师，教的特别清楚，我也特别喜欢上黑板做题，和班里的若干女学霸抢着把习题都包了。其实原来我一直离法国学派那么近，不过我一直没有想过我会有朝一日来到了法国，我那时的英语就很一般般，更加没想过学第二外语。现在我看到来到巴黎高师念书的学弟学妹们他们的实力，数学上的见识和流利的外语，跟当年的我一对比简直感觉自己是弱爆了。

顺利考试顺利转到基地班。于是自己的一个小小愿望终于实现了，终于能学数学了。

大二大三我上了数学系的标准的课程，几乎全国各地都差不多吧。

那时候觉得复变函数里头的结果一个一个都这么漂亮，不过我也记得复变的任课老师跟大家说，复变函数是上两个世纪研究的主流，现在已经什么人再研究这个了。他研究的是多复变，他是莫毅明的学生，于是后来他开多复变的时候我就去学了学，没怎么学懂所以到现在几乎全部忘记光了，仅有一点残留的：有个D-bar算子全纯就是它的解，多圆盘跟球不是全纯等价的，还有跟单复变很不一样的：两个全纯函数在一个有聚点的序列上重合并不能推出这两个函数是一样的。。。写到现在发现要是认真回忆一下还是能够想起来一点点的，毕竟当年是认真过的。他没让我觉得多复变是个漂亮的玩意，我记得我最后应该是没有去考试的，不过收获也是有的，我应该是从他那第一次学到了流形的概念。

抽象代数是一个姓邱的老师教的，慢慢地讲聂灵沼丁石孙那书，一个学期下来把群论讲完了。。。我彻底无语，我当时连理想是什么都不知道。我试着做课后的习题，发现很难，有些题目费好长时间确实能做出来，不过还有不少题目根本做不动。其实我并不是个特别聪明的人吧。抽象代数给我之后很长时间留下的印象就真是抽象，而且难。

实变函数和泛函分析都是刘老师教的，教的确实算不错了，光在课堂上我就觉得学了不少东西。我考分考很高，只是我觉得自己并不是特别好理解了这两门分析课。

陈老师教了古典的微分几何，活动标架法，于是我知道了爱因斯坦记号，以及算得烦死人的式子，什么克里斯多夫符号，从此微分几何在我心里留下了很糟糕的印象。陈老师说高斯最喜欢的定理是那个什么第一形式第二形式跟坐标无关之类的，不过我心想难道不应该是我高中竞赛时学过的二次互反律吗，他给了好多个证明。

拓扑其实是个特别有意思的东西，杜老师讲课还算有趣，不过可惜的是一个学期时间有限，讲完了点集拓扑剩下讲代数拓扑的时间已经还少了。我曾经想过是不是以后去研究拓扑，毕竟这东西真的很有意思。不过很打击的是我期末考好像才考了个六七十分，是我数学课唯一没上90的。

matlab的课我也很乐意的去上了，后来在玩文曲星里头的一个智力游戏的时候发现一直玩不出来，于是我把它弄成一个有限域上的线性方程组的问题，然后上matlab把它彻底干掉了，为此我还开心了好久！

数学建模的课讲的十分无聊，但我很开心的和几个同学一起参加了数学建模竞赛。那是我第一次和别人合写了文章，虽然没有发表但值得纪念。那次没得什么大奖。然而我的队友后来去了普林斯顿念博士，我心里羡慕了好久，她也毕业了在斯坦福博后。由于大家都还混数学界，也因此还有了见面的机会，其实还有机会见面的本科同学几乎绝迹了。

那时候的我学数学并不是觉得我以后就一定要去做数学研究的，我的想法和大部分人一样俗，先好好学数学毕竟是自己很感兴趣的东西，再学点计算机或者金融，以后好找工作也给自己留一条后路。

现在回想起来我一直不是那种狠了心一定要干纯数学的那种人。于是我选修了个华中科技大学的第二学位，每周六日就跑过去学计算机。也不知道是不是由于是第二学位，教学要求不是特别严格，我也就上课学习，平时不怎么看，然后期末随便一考试就是几乎满分。

武大的pde一直算是传统，我也上了陈院长的课，不过pde没有能打动我的地方，内容过于琐碎。我倒是记得陈院长说的一句话，做的人多的数学必定是好的数学。他当时是用来形容pde这个方向的。我不知道这句话是对的还是错的，但至少有一定的道理，在全世界范围内做数论的人挺多的。。。说到这完全没有任何迹象我以后会研究数论，就连继续做数学也挺玄的。。。

虽然我数学课的成绩很好几乎都是班上前几名，但是当我和寝室的同学讨论数学的时候我就会发现他们的见识比我广多了，他们对数学的理解也比我深得多。虽然光看考试成绩，他们没我高，但是我觉得他们的数学水平比我高。

不过我寝室里跟我一起讨论数学的同学们现在都没有在做数学研究了，不过我还是特别感谢你们，让我收获了很多。于是在我博士论文里也有了特别的一页中文，对你们的特别致谢。

正是由于修了个这样的双学位，我对数学以外的学问真的死心了，实在意思不大。可能也就差不多是那个时候我决定要继续学数学吧。

记得那是大三，我跟我的可爱的前女友分手了之后，姚开了一门交换代数的课。正是那个时刻，为了忘掉伤心我一头扎进到学交换代数上，越学越带劲，花了无数时间把Atiyah的习题一个接一个几乎全做掉了。也许正是多年以前的武大，当时中法班和法国联合培养了很优秀的一批人，恰巧让我遇上了他们，可能已经不自觉的接受了很多他们带回来的观念。姚老师又是一个法国毕业的老师，呵呵，看来我跟法国是有缘。

姚老师课上的十分精彩，不过上课人数仅仅是五六个人，可能是大家都觉得抽象代数已经够难了，现在来个交换代数就更难，而且很多人也不缺学分了所以选这样的课的人很少。而学校教学还有少于五人选课就不能开课的无聊规定。不过幸运的是，就有那么几个还是对数学感兴趣的同学，使得这门课能开。

在我眼里姚老师是个特别了不起的老师，当时课上完了，但是那本书还没教完，最后好像剩下两三章。我提出我还想学完，于是姚老师就给我单独把最后剩下的内容梗概给我上完了。那可能是我上过的唯一几次只有一个学生上课的课了吧。姚老师有时候是个不讲道理的人，有一次暑假数学系的教室锁门了，他觉得这不合理，他居然从门上半部分那个已经没了玻璃的窗带领我爬了进去，给我一个人上课。这样的认真劲让我对法国数学有了很大的好感。

其实我大三那一年，应该是巴黎高师在中国也开始了招生，江智就是那一年考上的。虽然武大有不少从法国毕业回来当老师的中法班的前辈，但是我完全不知道有这样的信息。再后来我也由于完全不了解信息错过了综合理工的招生，当时同班的一个同学参加了考试，只是可惜没考上。

大四的上学期是大家都忙着弄保送的时候。同班的一些同学一直准备出国，考了GRE托福，而我自认为英语够烂的，还不如把所有时间专心花在学数学上，学数学学好了总有出国的机会，还不如现在国内好好学，等以后真的做得好就出去，如果没学好也就没必要出国了。

大三的那个暑假武大还举办了一次多复变的国际会议，记得李岩岩来给了一个mini course，虽然是个关于pde的，我并不是特别感兴趣，但我还是去听了，课上他留了个习题。我晚上琢磨了一会，没能做出来，但却发现稍微改改条件我就可以很轻易把它做掉。于是第二天就找李岩岩告诉他我的答案，结果他大喜，说其实我改完条件后我的办法已经得到了方程的解的存在和唯一性。

也许是会后他在陈院长说了不知多少赞美的话，保研的时候陈院长就让我自己挑想去的地方，他给我包一封推荐信。其实他还说可以推荐我去芝加哥大学。不过我心想为啥是芝加哥，大概他在那有认识的人，这样弄靠谱嘛，万一不成功，只有野鸡大学给我offer那怎办？这样推荐过去就只能学他的pde方向了，我完全不感兴趣，而且我更不愿意花时间去准备万恶的英语考试。

自从上了姚老师的交换代数以后我就觉得代数挺有意思的，而且我对代数的感觉似乎比对分析的感觉好些。同时我还有个很幼稚的想法，国内高校普遍代数比较弱缺少代数的老师，我学完代数了出来找工作应该会相对竞争少一些。

我本来考虑去北大，想着跟张继平老师做群表示论似乎也不错，虽然我那时候连什么是表示论都不知道，更不用说张擅长的模表示。我征求姚老师的意见时，他却建议说我应该去学代数几何和数论，那东西主流而且有意思。其实我那时候对这个方向的了解是零。自己也曾经买了一本胥鸣伟翻译成中文的Hartshorne代数几何，自己尝试读一点点，结果连概型这个概念都没弄懂，现在想来当时我缺太多流形的观念了。姚老师的理由其实挺简单的，就是我学过交换代数，还学的不错，就可以去试试学代数几何和数论了。另外一个理由是他在北京晨兴的讨论班上认识，觉得这是个好导师。反正没有什么挣扎，我接受了他的这个建议。

我记得他说了一句话，我不知道有没有道理，但我信了：其实哪个方向没有特别大的区别，当你真正做研究的时候都一样，都一样的困难。也许我只是相信姚老师在法国学到的数学，和相信他在国外的见识。现在我开始了自己的研究，发现这句话其实挺有道理的。并不像传说中那样，代数几何和数论比较难，其实其他方向也一样难，一旦是想要做点新的结果，各个方向的难度其实不分上下。代数几何和数论表面上的难可能只是表现在门槛比较高，需要学习很多的预备知识才可能开始做研究。然而按我现在的理解，念书过程中的困难和创造新结果的困难相比根本不是一个数量级的，是几乎可以忽略的，而创造新结果的困难并不会因为你的方向不一样而有多大的区别，相对容易的结果总是早被别人做过了，只要是新的都是十分艰深的，需要做研究的人用力推进的。姚老师的那句话现在看来还真是对的。可能就是这样吧，我定了以后的方向就是数论和代数几何。其实这是盲目的，我根本对这个学科没有任何了解，就跟上大学填志愿的时候一样，对未来要面对的是完全没有任何认识。

后来姚老师还开了古典的代数几何，上了一点沙发列维奇的书，很直观的一些内容，多项式方程的解的几何。

完全没有学分压力的时候我还是很自由的学了不少数学。我到数理金融班那听了张老师的微分拓扑，张老师上课很有意思的，其实我更爱听他讲数学八卦。可惜他没上多久就到科学院去带一门课，微分拓扑由他的一个学生继续讲完。微分拓扑里有很多很有意思的定理，例如向量场的奇点：地球上总有一点是无风的，还有例如地球上总有一对对径点的气压相等，等等都印象深刻。其实我觉得大部分本科的课程太死板了，没有很好激发起学生学数学的兴趣，数学里头漂亮的东西太多了，如果能尽早开眼界看到这些，那学习数学会是十分愉快的过程。

大四的时光总是特别快乐，我几乎每天傍晚打羽毛球，晚上经常和同学们下馆子，而白天就毫无压力的学点数学课。

那时候范老师还开了门关于p-adic分析的课程，范老师是法国的教授。在武大特别幸运，数学系虽远不如北大，但却有机会碰到那么一群在法国留学过的有学问的人，而且我真还从他们每个人那都学了点东西。范老师本质上是个分析学家，他关心的是动力系统，开p-adic分析的原因是他做p-adic的动力系统。我那时候已经自己看过一些p-adic相关的内容，不过我看的几乎都是代数技巧处理的，写给学代数数论的人的书。范老师的处理是很分析的，例如某些定理的推导用到的是泛函分析的结论。我自己不算是个规规矩矩只听课的学生，我要求范老师让给我半节课让我来讲讲比较代数的构造p-adic域，于是我就简单的讲了逆极限，然后解析了为什么这样构造出来的和考虑等价柯西列造出来的这两种语言是怎样对应起来的。范老师给我的印象就是不紧不慢特别绅士的那种，我当时以为他是受到法国人的影响，但等我真正来了法国之后才发现其实大部分法国人不是这个风格。我抱怨数论要学习的预备知识太多了，而且每一块都要花上不少时间，他倒是觉得无所谓说：慢慢来就好了。

我还听了调和分析的课，原因只是因为开课的人是杨老师，而且我知道他是小波分析创始人Meyer的学生，不过我也确实发现我确实对分析太没感觉了，只听了两次课就没继续了。

现在回想起来我有点惊讶，怎么本科的时候能有这么多时间，自己杂七杂八学的东西其实不少了。

我还有空去听研究生开的抽象代数，文志雄开的课，又是一个法国毕业的，总算讲的稍微多一点点，不过也就真的只是多一点点，讲到了点环论，这在我学过交换代数之后已经不是什么新鲜的东西了。

记得还有个叫樊恽的教授，做群表示论的研究，他给他的学生们开着讨论班，但我却没抓住这个机会去学，毕竟不是一门课程的形式。

自己想学点代数，觉得以后学数论代数基础一定要扎实，但看来等着老师教那是希望渺茫了。大四闲着就去自学，代数的教程有很多经典的推荐，我念书基本上不是别人推荐哪本我就念哪本，而是很随着自己的喜好，读着哪本觉得特别对自己的胃口我就一直读，读到不对胃口的即使是世界名著我也毫不犹豫的放弃，绝不死啃。让我感觉挺好的是Hungerford的那本GTM，于是大四就静下心来基本把习题做完了。也算是正儿八经的学了一遍Galois理论这么好玩的东西，古典尺规作图三大难题的确是个很有吸引力的切入点。等大四才接触Galois理论这么重要的，贯穿现代数论的理论其实真的够晚的。那时候比较容易弄到的书是GTM的影印版，于是同时也读了GTM167，Galois理论部分大同小异，都是现代的经过重写后的简洁明了的版本。倒是从这个书我学了不少超越扩张的知识，这跟我学到不久的古典代数几何能马上联系起来。从那书上学到的还有一些最基本的超越数论，证明\pi和e是超越数，其实也挺有意思的，到今天我只记得证明里有一堆积分号。

数论难入门的原因是内容太多了，但是也有一个容易入门的原因：每一小块需要了解的内容都十分有意思，讲述一个特定容易表述的问题，然后用各式各样的办法把这个问题漂亮的做掉！所以学习数论是很享受的一个过程，面对的都是一些形式上特别简单看起来就觉得有趣的问题。不像索波列夫空间我一看那指标我就不想学了。。。（某些人躺枪了吧，不小心黑到了。。。）为了了解数论大概研究什么，我很随意的看了看GTM84，那本书每一章讲一个主题，每个主题都能发展出一大套理论。我挺喜欢这个书的，挺能开阔眼界。

研究生开学前2005年的暑假我就来到了北京，清华正和巴黎11大联合举办自守形式的暑期学校。我每一门课都听不懂，但每天都跟着徐老师从科学院去清华听课，那是因为会议的点心蛋糕特别好吃，清华食堂的饭菜也很可口。那时候清华已经开始和11大合作了一小段时间了，经常有巴黎的教授到清华去讲课，也开始有清华的学生来到11大念书，那时候在巴黎念数学的中国学生并不多，不像几年之后的现在，遍地都是。

那时候在听课的应该不少现在我都认识了，我现在只记得一坨牛人坐在前两排记笔记的同时还能提出不少看似有意义的问题。对比之下我一点听不懂，真的特别难受，觉得我的差距也太大了吧，别人读个大学我也读个大学怎么能差这么远。不过我也总是觉得可能只是环境的差距，有些东西我没能接触到，如果给我一样的环境我大概也能学很多很多。于是在北京那一年是我最用功的一年。

徐老师是个比较放纵学生的导师，可以跟他讨论问题，但不是那种把学生盯得很死的导师。我进科学院的那一年他一下子招了三个新生，我总叫他开门课来教教我，但他一直都没开。只是让我们参加讨论班，他的想法是把学生放在讨论班，学生就自然知道要学什么了。其实我知道很多东西应该学，但是不知道从何学起，而且如何学。

不过北京从来不缺好的课程。

首先应该尽早学的是现代代数几何概型的语言。清华的印老师恰好开这个课程，于是那个学期就经常骑车去清华上课。印老师是那种思维力全是纯粹代数的人，他讲的代数几何就是一坨代数的逻辑推理，他是那种从来讲不出几何意义的人，我就这么硬着头皮的学着。自己也开始试着做Hartshorne第二章的习题，其实第二章的题目还不是难得做不动的。我也不知道自己究竟有没有理解，但是我就这样艰难的开始了代数几何的学习。

好像是下学期，科学院那的胥鸣伟（就是翻译GTM52成中文的老师）也开了一门代数几何，我也去听。白发苍苍的老爷子和印林生完全两个极端，他的思维是纯粹的几何，给我们讲的证明几乎就是瞎扯的神推理，不过他讲的是几何直观，为什么一个结论是对的，几何意义是什么。我的代数几何入门就是这样先学了代数再学几何，然后我自己合成了代数几何。

不过老实说来，GTM52这书不好读，许多细节的验证被藏起来了，往往是一句话概括，扶磊的书当时成了一个很好的补充，注意到扶磊的书的原因只是因为他是我的校友，是姚老师读书时候的武大郎，不过他的书确实在我学代数几何的路上帮上了不少忙。

那个时候我手头还有一本很不错的书，武大出版社出的流形的拓扑学，好像作者叫苏竞存。那个时候我对流形的思想已经很熟悉，印象中从陈省身的那本书的前面部分写得特别清楚，科学院的彭家贵开的微分几何又把很多我以前学过的内容复习了一下，于是我课余就经常看流形的拓扑学，作为娱乐的看。这本书其实我自己特别喜欢，讲的很直观，我看那书总是能够想象到图像，而且我觉得那本书把很重要的一些思想讲得比较浅显，我脑海中纤维丛的概念应该是从那本书之后才建立起来的，而不是建立在微分几何的课上。这本书最后讲到指标定理，只是我后来就没有时间念下去了。不过从这本书里树立起来很多几何的基本观念对我理解代数几何的帮助很大，思想和观念是一致的，只是把分析换成代数语言。至于Griffiths-Harris我从没看过。

那会课特别多，我还上了门科学院开的代数拓扑，其实很多内容我在本科学完拓扑后自己也稍微看过一点，这门课并没有给我留下太多印象。科学院开的抽象代数也没给我带来什么新的知识，这些课程的考试我都很轻松的就应付过去了。

想学习数论，一些李群的知识是应该知道的。恰好科学院也有这样的基础课，好像是唐老师上的，今年暑假回北京都5年没见了，唐老师居然还记得我还真让我有点惊讶。就是微分流形和群的一个结合，本科学拓扑的时候就学过一些拓扑群的知识，再学习李群其实并不困难，只是再注意一下现在切空间是个李代数，而且这个李代数反过来确定了这个李群（up to这个李群的基本群）。接下来的李代数的课程讲了半单李代数的分类。不过这些由于我最后没有进入朗兰兹纲领相关的方向，我现在这些都忘得差不多了，可能只是学习过程中必须经过的一个过程。很多东西不一定最终能在科研中用上，但是不能一点也不了解，中心的思想很值得知道。

紧接着席老师给他的学生开了门代数群的课，这样的学习机会我总是不会错过的，不管我的时间表已经有多满。后来才知道席老师身体的事情，觉得他真不容易。还顺带知道了一点Lusztig的八卦。席老师是个很有特色的老师，他自认为无关要紧的东西错一点无所谓，但是理论最关键的地方原则性的地方决不能错。不过课下来我自己有点不知道哪些是原则上的问题他没错，而那些是可以随意的他已经错了的。。。席老师知道我有机会去11大的时候还鼓励说那是个好学校，要珍惜这个机会好好学，希望现在席老师还安好。记得他讲的书是Humphreys的代数群，其实Humphreys更出名的是李代数的那本GTM，我学李代数的时候也稍微翻过一下那本薄薄的书。而代数群那本书讲的是代数闭域上的代数群。这个就跟复李群已经很近了，思想并不新鲜，只是得把微分的语言换成纯代数的。一个学期的课只能浅浅学个入门，还有好多稍微深入一点点的我一直没机会再好好学一学。

数论里也经常需要非代数闭域上的代数群，更甚至是环上的“代数群”（差不多就是群概型），这就是每次我学完一门课之后都有种路漫漫无尽头的感觉。学李群的时候用的课本好像是GTM94，有时候我也不太挑教材，只要不是太不可读也就还行，那本书李群以外的另一章倒是大大的吸引了我，讲的是层的上同调de Rham定理。那是我第一次感到层论这个工具了不起的地方，突然发现这东西抽象的外衣下能量非常大。

那时候我知道以后要去法国，于是周六日报了法语班，去学学法语。我虽然知道自己语言弱，不过也知道学语言要实践。于是找了本法语的数学书来练习我的法语。恰好那个时候对层感兴趣，于是就找到一本Godement的好像叫层与代数拓扑的书。不少对层的上同调的理解是获益于这样一本让我练法语的书。

还记得上学期的时候Ullmo在清华开模形式的课。在徐老师的指示下，我去旁听并参加Ullmo组织的志村簇讨论班。其实法国人开课入门门槛不会特别高，但是中间提升的梯度还是挺大的。模形式，更一般的自守形式，是学数论的学生应该了解的，算是数论里比较偏向分析的那一部分。课上得很不错，学到了不少以前完全没有听过的知识。最后的考试去考的人不多，记得我考了个第二，20分满分拿了好像14，这也是我第一次接触法式的考试。至于Ullmo的讨论班要学志村簇，我在十个报告人里应该算是最弱的，于是被安排讲第一讲，讲四元素代数和志村曲线，参考Milne那时还挂在网上的一个文章和Vigneras关于四元数那本LNM800。那段回忆及其惨痛，那书是法语的，我连英语都hold不住，Ullmo却逼我看法语书。人真是被逼出来的，那时一个星期学会了用latex，第一次用英文写讲义，操着生疏的英语第一次讲讨论班。那时候没有学过类域论的我要读明白四元数代数的内容那是很困难的，向欧阳老师求救，他让我去看看英文的Shimura写的那本自守形式的最后一点，我心想这是坑爹嘛，一下子让我看最后面我能懂嘛。那时报告的日子一天一天逼近，我都觉得要走投无路了，最后打电话骚扰徐老师。以致于到现在徐老师老拿这事来耻笑我。我只记得我并没有真正理解我自己要报告的内容就上去很勉强的讲完了我的报告。那一系列十个报告的讨论班其实收获还挺大的，至少前五个我是能够听懂一些的，至于到了后几个我已经完全懵了。其实应该习惯在讨论班上吸取营养。

有一段时间欧阳老师在清华给大四的本科生开了门课讲Serre的算术那本小书，刚开始讲二次型的局部整体原则。我那时真是什么课都愿意去学，只要跟数论跟代数几何相关的。不过我也忘了有没有听完这课，但是自己很喜欢Serre写书的风格，多一句嫌多少一句又不够。学模形式的时候，Serre的那本算术的第二部分曾是很好的参考。

在北京的那一年，田老师刚到了科学院。他给我们开了门代数数论的入门课程。讲的很激情洋溢，他很喜欢一些古典的办法，是他告诉我高斯的二次型的复合法则，然后一直把我们带到Bhargava最近对这个的推广，发在Annals上的文章。其实很多标准的代数数论的教材上可以很容易找到表述很清晰的基本的代数数的理论，田野从这个角度的切入其实成了一个特别好的补充。田老师是个能量用不完的人，他带着我们几个学生晚上组织讨论班，他的胃口挺大，他分给每个学生讲数论几大块问题的其中一块的入门的定理。例如有Roth的关于丢番图逼近，有Iwasawa代数的模的结构，有椭圆曲线的Mordell-Weil定理，Galois上同调的介绍，Tate thesis，有限群的表示论，代数群里的算术子群，试图讲类域论，等等。其实每一块都很大，这么开了一个头，我后来出国后的第一年一直在慢慢消化，其实这告诉了我数论里有什么可以学，有什么应该学。

学习有限群的表示，Serre的书是个首选，前两章学下来就对表示论有个很基础的理解了，我相信代数群李群的表示论都将会是这些基本定理的各个方向的推广，只可惜我没有最后进入朗兰兹纲领相关的方向，也就一直没提起精神去学李群的表示了，特别是对无穷维的表示我完全无知。

记得在北京那一年我好像还自己看了本黎曼面的书GTM81，完全不是解析的引入，而是纯代数的用层论证明了黎曼洛克定理。这其实相当于Hartshorne里头代数曲线那一部分内容了。然而那本书我最大的收获不是这个，而是我读明白了代数曲线基本群理论跟Galois理论的相似之处。那确实当时就被振到了，虽然之后我自己从未正儿八经的念过SGA1，但是SGA1的思想就是用统一的语言来描述这两件事情，一侧是拓扑一侧是数论，统一使用概型的etale基本群的语言来描述。这一点其实是数论和代数几何深深打动我的地方，自从我明白了这一点，我就觉得听了姚老师推荐我学这个方向真的没错。就是因为有这么些奇葩的存在，让那些爱上数论的人无法自拔。

另外我还急切的希望了解一下朗兰兹纲领究竟是说的什么，于是找到了一些很科普的文章，总算了解了一些，不过都只是浅尝，到现在为止我都还没有精力更好的了解。

冯老师好像写了本叫做数论简史的书，是我特别喜欢的一本，我就把它当成故事书来看。写得十分近代了，也很好的告诉了读者学现代数论大概有那几大块，如果真想深入学习数论，这其中的每一块都应该至少有个粗浅的了解。

现在回忆起来才发现怎么自己这么疯狂，上面这么长一整段里说道都是发生在我在北京的一年里头，我哪来这么多时间，我也得多么的囫囵吞枣才把这么一大坨东西吞下去了？要是我每一年都能有这个效率我觉得我现在应该差不多能得菲尔兹奖了。

其实对于出国，我一直是没有心理准备的，直到ALGANT项目申请截止前一周，徐老师说Ullmo觉得我们几个过去上课的都很不错，于是我在犹豫之中花了一个星期备了一下申请资料就申请了。其实我心里有点担心国外的博士不好念特别还是到处讲法语的巴黎，万一不能毕业怎么办。喜欢大海的美丽也害怕大海凶猛无情淹没渺小的自己，就那样的一种心情。不知山有虎就向虎山行那是白痴，明知山有虎而向虎山行那是勇气，而我是知道山有虎，然后想退缩，我是普通人。

这时候导师的作用就是煽动，把我赶上贼船，然后我就自然下不来了。徐老师说他招的学生太多了，过一两年就带不过来了，所以送我们出去。我心想早知如此何必当初，少招点不久成了么。他说出国以后不要想着转行，像计算机等等的学科能赚钱但相比数学没有那么值得用人类最高的智慧去追求。我心想我早对计算机死心了，只是你不知道。他说即使在巴黎很勉强的拿到个学位，那也已经是对中国数学的很不错的贡献了。我就这么头脑一热责任感在胸中由然而生。其实事实上很明显中国数学多我一个不多什么，少我一个也没少啥。

就这么申请了，出国了。来到了第一站，意大利Padova，700年历史的大学，伽利略在这里教书多年。一出国就被这样的一种文化氛围深深吸引，欧洲更是一片很有意思的土地。奖学金项目给的钱很多，几乎和我现在的工资能持平了。于是我开始了自助游，一发不可收拾，我这人还爱得瑟，即使在徐老师面前。他说要好好学数学，少花点时间旅游。结果被我一句话给顶回去了：对这么多姿多彩的世界都不充满好奇的人怎么可能会对数学充满好奇呢！出国以后就每年去玩的时间都很多，我都不知道我是出来读书的还是来旅游的。这也有原因，意大利人懒，我把他们的优良传统给学到了。其实是由于在意大利学的很多课程以前自己就自学过，经常每一门课下来只有少量新的东西学到。

在这，我又学了一次代数几何，Barbieri Viale教的太慢了，不过我知道他是研究motif的，于是最后一节课上完后，他问我们有什么问题，我就直接问：啥是motif啊？正好打开了他的话匣子，于是他给我们科普了一下下，简单地说来就是一个universal的东西，里头包含有各种类型的上同调的信息，就是所有的各种不变量都应该通过motif分解，当然这个Grothendieck的梦想远没实现。

Baldassarri给我们讲刚性几何，他一个劲越讲越快，最后剩下我和另一个中国同学，没听懂但又不好意思就此逃掉。其实Padova的p-adic分析很有传统，Dwork用p-adic分析的方法在这证明了Weil猜想的zeta函数有理性。

由于课程轻松，我大部分的时间是在自己念书。念了一点Bump的自守形式的书，对自守形式有点粗浅的了解。读Silverman的椭圆曲线。然后还看了无数Milne的课堂讲义。其实Milne写书写讲义经常有错误，但是恰恰就是那种要害的地方没怎么原则性错误，他的讲义很容易在网上获得，而且读起来是相对很流畅的。从中我学了不少，局部类域论，整体类域论，阿贝尔簇，代数群（一些非代数闭域上的讨论），etale上同调，Galois上同调。

其实这一段我有点无头苍蝇，乱学， 其实我这时需要一个导师，到这个时候其实数论和代数几何最基础入门的知识基本上我都已经学到过了。应该要跟着一个导师开始读文章，开始试着做问题。 毕竟学数学最终目的是证明属于自己的定理，建立自己的理论。评价一个数学工作者是要看他做出什么样的定理而不是看他学过多少别人的理论。

就这样我来到了巴黎，在这里，现代代数几何的故乡，我又一次学习代数几何。其实，如果你学了一次代数几何没学懂那太正常了，我学了至少四五次。。。所以我觉得我自己并不是一个特别有天赋的人，我也不是个特别勤奋的人，特别是出国了之后懒多了，我只是以正常的智力水平用还算正常的办法学会了一点代数几何，其实一点也不高不可攀。

这次是Harari教，Hartshorne还有另外一个缺点，虽然书里没说域k是复数域，而实际上很多讲的内容是偏重于复数域上的代数簇的。而Harari做的研究是数域上的代数簇，所以上他的课还是有些新的收获，也因此我读了一点刘青的那本代数几何，这里头能找到一些算术的例子。我也又一次学代数数论，Fontaine和Colmez合开的课。Fontaine就是那种激动型的老师，每上一次课信息量都特别大。我的法语听力也就是从听数学课那里慢慢进步。很多人都说他字太丑了，那板书龙飞凤舞，特别难抄笔记。其实抄笔记没抄上的原因是你没听懂他法语说出来的那句话， 想象你在听写，然后黑板上的潦草字迹是个提示，那你就会好过多了。 在一些经典的内容过后，他俩开始讲那变态的fontaine环们。。。那个直到今天反正我是没有搞懂。。。那回考试还考了，我都不知道我是怎么活过来的。

巴黎毫无疑问是学数论和代数几何世界上最好的地方之一了，其实把之一去掉也不为过。因为巴黎不止一个大学，而且大学间离得很近，哪里有感兴趣的课就到哪去听。博士期间也会经常有空可以到处去听听课，充实一下自己的知识面。Clozel讲了一个学期的Iwasawa理论，可惜我感觉我自己没有抓到点。听Hindry讲阿贝尔簇，讲得挺不错的。听Gille讲代数群的算术，发现自己对群的直觉不怎么样。去了Rennes上一个Arakelov几何的暑期学校，粗浅了解了一下这个挺有意思的方向，只是觉得自己分析功底太差了点。听Debarre讲代数簇上的有理曲线和有理连通簇，后来也去Grenoble上了这方面的一个暑期学校，学了不少有意思的结果。有点可惜的是，我一直没有机会听一听解析数论，这学期只听了一点点，但没能坚持多学点，我的分析真是糟糕。也可惜没有能学会一点K理论，毕竟这在数论里应该有应用。

来巴黎学了不少东西，其实更重要的是找到了自己合适的一个导师，开始了自己的研究，做了一些属于自己的定理。我联系博士导师的时候让我想起徐老师的一句告诫：找导师不见得要找一个最牛的，但要找一个最适合自己的。我不知道这话对不对，但这和我听到过的另外一句话是矛盾的：跟越优秀的人待一起你自己也会变得越优秀。但是我同时相信了这两句话。来到了巴黎，身边的老师们教授们都非常优秀，周围的同学们也都十分优秀。

然后选了一个还真是挺适合我自己的导师Harari。其实我当初只知道自己分析是相对的弱项，如果设计arakelov几何，那可能需要一些分析，涉及无穷维的表示理论这也要一些分析，于是我也不太乐意学自守形式的理论进入朗兰兹纲领。最后其实我的选择不是特别多，Colliot-Thelene的数学是我喜欢的类型，几乎从不出现分析，既跟数论有关也跟代数几何有关。不过他已经招的学生已经不少了，估计不可能再招，而且他感兴趣的东西太多太多。反而更对我胃口的是Harari的研究，面要窄的多，几乎所有都是关于有理点的，几乎所有都是关于数域的。至少这个领域是我不讨厌的，于是就跟了他，而且他也不是那种反应极速的人，跟那种人讨论心会特别累而且很受打击，弄一个结果出来弄不好大部分都是他帮你想的。但跟Harari也有一个显然的缺点，方向太窄，这也是我现在面临的问题， 毕业后应该找到一些相关方向的问题来做一做，研究兴趣太单一并不是好事。

唉，写太长了。我所见到的一些法国学生，本科没学过任何代数几何，但是硕士就上了这么一两门课，马上就学会了，这也太神奇了。我回忆自己是怎么学代数几何和数论的，发现学了很久很久，花了很多很多时间和精力。比起北大数学00级那个神奇的班级，几个学代数几何数论的都在美国最顶级的大学任职了也还拿了不少国际上的奖，才发现人和人的差距还真是大大的。我想我成不了最出色的数学家，但是作为一个数学工作者享受着最美丽的数论，只要自己能够享受这个过程，那还是很不错的。

我开始学数论前有一个想法，有机会我应该试着读懂费马大定理的证明。只是到了现在我还没有这样的机会。现在有了自己的研究，研究也应该不断地继续，也就没有时间去实现这个想法了，留着等我老了吧，等我做不出新的结果的时候，那会我应该就有时间去实施这个想法了。有了终身的位置，我不干活也得把我养着，这就是游戏规则，这也是科学家唯一的特权。

学数论的时候经常觉得自己是一只蜗牛，慢慢的爬，给足够的耐心，爬着上路去看风景。

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尾声

(排版实在太烂了。。。)

写写数学，写写我身边的人，写一下这几年的日子。

博士阶段已经接近尾声了，论文已经送审，放假回来就答辩。一直想为这几年写个记录，也一直提不起笔，写给谁看呢，至少写给自己看，也写给身边的一些关心我的朋友看。系里人已经很少了，假期悄悄开始，这段时间我也相对比较闲，可能这个正是记录的时机。停下来一下，回头望一眼。

我还记得国内的导师徐老师跟我说过的一句话，选导师不一定选最牛的，但要选适合自己的。我还记得别人对我说的另一句话，跟的导师越牛你就会变得越牛。结果，我选导师的时候听从了前者。在巴黎这种群牛云集的地方，我老板Harari并不算特别牛，跟他的原因有不少：读他的文章，主题是代数数论和代数几何，具体点就是数域上的各种代数簇的性质，这是我自己觉得比较有意思的领域，虽然我并不认为这是现在数论、代数几何这两个大方向里的主流（我觉得朗兰兹纲领相关的才是现在最关心的问题）；代数数论和代数几何都是我一直花比较多时间的科目，觉得里头很多东西很漂亮，例如可以从代数推理中说出那么一点点几何意义；他关心的领域分析几乎用不上，我总觉得分析学一直是我的弱项，虽然大学里数学分析、实分析、复分析、泛函分析我考的分数都还可以，但我觉得我是没有真正得到要领，我倒是觉得几何给我的直观很有趣，而代数给我的严密我很欣赏；他老板是Colliot-Thelene（以下简称CT），做的代数几何是很具体的代数几何，并不是法国学派最最推崇的（Grothendieck式的高度抽象），当然现在做代数几何是离不开Grothendieck的语言的，如果你喜欢念Serre的书，你必定会很喜欢CT和他的学生们所做的代数几何，很直观具体，但同时使用Grothendieck们所创造的强有力的工具；听他讲课觉得好懂，他的思维跳跃不快，证明比较严格；人看起来还挺和善；他英语比较标准，法语无力交流的时候也不用怕；我不是他的第一个学生，我观察了一下导师带第一个学生没有经验的同时会最花自己的心思（与之后的学生相比），结果要么带的很好，要么带的很差，所以当开门弟子有那么点风险；他熟悉研究生院的事务，省我很多办手续的劲；他从未有过中国学生，我不会被拿来跟之前的中国学生比较；他是年轻人，后来证明他是比较能站在学生的角度想问题，毕竟他自己不久以前还是学生；他不像太严厉的人，我不至于毕不了业；他发的文章档次不是最牛那种，但也都是很不错的，不过其实这点不怎么需要考虑，在巴黎随便找一个可以带学生的，水平不会差。Ok，我居然能够列举出这么多跟我老板的原因，其中大部分是我当时就知道的跟他的原因，只有其中极少数是我直至现在回头看看觉得到目前为止跟对老板的原因。

博士开始于2008年9，10月。在此之前选择博士题目的时候，Harari问过我有没有自己的想法，没有，我从来没有想过自己可以做些什么，更没有设想过给自己怎么一个题目。于是我的博士项目是我老板写的，一个很宽泛的计划，只要是跟着他给的方向走大概无论作出个啥样的结果都能归到这个宽泛的计划中。我第一次正式见老板我还有印象。他大概告诉我什么是Brauer-Manin障碍（下文简称BM），我依稀明白是啥意思，于是我领到的第一个任务是看Skorobogatov的一本书。看他的样子挺有信心我能做出来点东西，我能比较顺利毕业，其实我心里很没底，他想我做个什么我都没弄明白。我其实那会很羡慕WSW的状态，我还记得他硕士答辩的时候，最后教授提问了，能够回答出来大概接下来要做的是什么问题。这在我硕士答辩的时候我还是糊涂的，直至刚开始读博士的时候依然是糊涂的。一般而言，答辩的时候往往只会教授提问题，不过也有例外，我就记得我硕士答辩的时候，HY居然问我一个问题，靠，我居然还不会答，我记得我当时就说这大概是我博士阶段要去考虑的问题吧，于是我老板就插嘴帮我回答了这个问题。其实正是因为我没弄懂这个问题，我博士的一开始的任务还是看书，而不是读文章。其实这一块应该是在硕士期间就应该完成的。其实我硕士的任务也是读书，一本很厚的书，我老板也没告诉我读到哪，于是我就没有紧迫感的慢慢读，读到哪就算哪了，现在想来，我当时应该更加抓紧时间把那书读懂之后就去要下一步任务，自从这开始我就总是觉得自己总是慢了一步。其实在很多情况下，硕士期间就要去读文章了，在文章读不懂需要书去补充的时候顺便看书，这样的方式效率应该更高，学东西应该更快，但我不知道当初为什么我老板没让我这样做。

这本书篇幅不长，讨论过两三次，问过若干问题之后我大概就算是基本读完这个书了。大概两个月之后我终于领到了读文章的任务。我还记得，我老板问过我一个让我很窘迫的问题，他说：“我想你以前已经度过我的一些文章了吧？”其实我好像说，没有，我只是浏览过，根本没有仔细读过。无论如何，我开始了看文章，一片Poonen刚挂出来的文章，给了“BM障碍不是唯一障碍”的一个例子，后来这篇文章发在Annals上了，但其实文章不难读。当时这样的例子只有Poonen的和Skorobogatov给出的两种。我老板最开始让我干的是再去找一类例子，最好是2维的。其实我对此完全没有任何想法，造反例这种事情，得有个可以入手的地方才能开始去试，在完全没有头绪的时候真的就是没有一丁点办法。不过这段日子并不难过，我感觉到其实别人的文章原本看似很高深，其实也并不是那么高不可攀， 看的出来有些时候文章里最闪光的地方也就是那么一点点的新意，别人没有想到的而文章的作者想到了。 老板给我读的文章我也是觉得挺有意思的，对我的口味，顺藤摸瓜，沿着文章的参考文献读下去，那会感觉挺好的，觉得一下子好像弄明白了之前一团浆糊的一片东西。不过我也是完全迷惘的，我领到的题目是完全没有头绪，我欢快的读文章看别人近期做出来的结果的同时我并不知道我下一步应该干些什么，不过很容易安慰自己，毕竟时间还早，至少现在基本算是进入了一个领域，终于接触到的定理不是那些几百年前的著名人物做出来的教科书里的定理了。记得那时，我读到我师兄Demarche刚证明的一个定理，他比较了两种障碍的强弱，其实我觉得我师兄到今天为之众多定理中，这个是最可爱的一个，我最为喜欢的一个；我也读到了TS的师兄Errikson刚证明的定理，其实并不困难，他那个证明我之前也几乎想到怎么证了就是其中有关键一步我自己理解不透，看到了他的证明之后才一下子恍然大悟。读到这些工作的时候，给我很大的鼓舞就是我其实离他们的水平并不遥远，证明一个自己的定理其实真的不太遥远。那时大概是2009年的春天。在此之前的圣诞节，在印度有一个会，我师爷爷CT组织的，我那时很迷恋旅游（现在也很），想去印度溜达一圈，其实我也大概知道开会我能听懂的应该不多，而且那个会更偏重代数而不是算术，我老板自己也不去。不过大概是看着我刚开始学，还没固定做什么题目，也不好我第一次提出去开会就拒绝我，于是就找人报销机票让我去了。其实现在想来，那回我提的要求有点过分。于是那年的平安夜我在泰姬陵所在的那个小城度过了，而之后一个星期多的会我确实没什么收获...倒是在印度几乎天天吃素，回了巴黎天天大鱼大肉，于是给自己弄出个急性肠胃炎，上吐下泻，前后休息了将近一个月才完全康复了。唉，其实这次去印度是给我最深记忆的一次旅行，收获很多，只是不在数学上而已。也从此，我更加热爱一个人旅行。

大概是我老板感觉我有点没有方向的乱读文章了，终于给我一个新的指示，让我下次大概10天之后和他讨论一个之前提过的CT的文章，写的是关于Poonen例子上的0-cycle的结果，说的是如下事实：虽然对有理点而言BM障碍不是唯一障碍，但对于0-cycle而言是的。这个文章他很早就提到了，只是我一直没有特别放在心上，刚开始读时遇到了一点困难，于是放下了，直到后来遗忘了。但当被迫赶紧读懂的时候，发现其实也不是特别困难，我还就真差不多弄懂了，只是有几个地方过不去，于是讨论完后就基本掌握那个证明的各个细节了。老板的提议是看看这个办法能不能证明更一般的结果。（其实今天看来，我还没有成功用这个办法对更一般的代数簇得出任何有意义的结论）但是，我很快就意识到这几乎算是给了我一个新的问题，能不能证明一个一般的定理，使得CT对于Poonen例子的讨论变成这个定理的特例。其实这是个非常靠谱的方向。已经有了CT的结果，把它一般化总是可能的，就看你从最一般的情况开始怎么加限制条件，加条件的过程中注意总包含CT的结果，总有那么一天，条件强到某个程度，这就是要变成可以证出来的东西的！至于实现这个定理是不是用CT提供的办法，那都是无关要紧的。于是我总算是有了一个摸得着的目标，比之前那个大海捞针找反例的任务更有盼头。之后整个博士阶段做的东西几乎都是围绕着这个具体的问题展开的，我也没想到，居然可以源源不断挖出东西来，直到今天，我居然还感觉有东西还能继续往下做。那会大概2009年的5，6月了。

我很快就拿出了一个“证明”，在一次和老板的会面中给他在黑板上讲，他听的过程中不断问问题，都是我从来没有注意到的一些细节。结果我知道我的证明有很多地方根本就是过不去的。同时，他也告诉我克服这些困难可能会用上的一些办法出现在哪些文章中，让我赶紧去读，看能不能有启发。我明显感觉到这段时间我老板给我加了强度，预约见面的间隔短了很多，可能是他觉得之前去了印度一趟时间浪费不少，现在应该赶紧在暑假前抓紧一下，也或者他觉得我到了某个点了，压一压就能出来结果了。他又一次做对了，很快我就给出了一个相对靠谱的结论了。这也是真真正正我的第一个结论，2009年暑假前。我老板是个非常抠细节的人，其实我也是。我证明一个命题，我会每一步细节都写出来我才不会怀疑我的证明有漏洞，然后我再做下一步，这样一个命题证出来了我自己就基本觉得不会有错误了（其实，事实往往不是这样），可能是性格导致，我做证明是步步为营的。我老板对我的要求一直也是这样，写作的时候自己不清楚的地方一定要给参考文献，要具体到哪一个命题，而且不能有半点似是而非的模糊区域，要注意验证所有条件是不是都满足，只要有一点点不明显的地方一定要把每个细节详细写出来，能写出来的才算是对的。其实这也正是我一直欣赏的代数的严密性，相比起来我自己很受不了分析学里头经常无穷小量相互换来换去，当然这可以严格的用极限来按定义写出那些无穷小量的意义，如果写证明时真的写出来了（这会使得证明很繁琐很丑陋），我会很相信这样的证明，否则，我会不放心在那些无穷小量乱换的过程中是不是偷偷地交换了两个不能交换次序的极限过程！并不是所有数学家都是把严密无漏洞的推理放在第一位，很多已经发表的文章，最后发现有错误的。这类人喜欢大步大步向前走，只要觉得合理的就先走了，而不是每走一步都很顾忌的回头看看究竟这步是不是严格的。这样可以看得更远，走得更远，更有大局观念。即使有那么些漏洞，很可能是可以被发现并补充完整的。这是做数学的两种截然不同的风格，并非其中一种正确而另一种错误，从微积分的发展过程看，这两种都是需要的，无可厚非的。只是我个人更加欣赏前者，而且当我看后者写的文章时我总是会很不放心，总感觉哪里有个我自己没观察出来的没填完的坑，只是他水平高能骗过我的双眼。我记得我跟CMF讨论过这个问题，她是典型的后一种。其实我觉得姐姐博士论文后来的反复补漏洞就是这个风格的一个极大麻烦，不过你确实走了好远好远，我只能羡慕你真的走了这么远...我自己是没你这个胆量，宁可走慢点都要保证自己不掉到自设的陷阱里。


2009年暑假回来的第一次见老板，我就收到了一个坏消息（其实后来看来，并不见得是个坏消息）。老板暑期在英国的一个会上听到师叔Wittenberg的一个报告，知道他也正在做相同的问题，而且已经报告了跟我很相近的结果。我老板把他报告的笔记给我讲了一遍，我回家研究了一下，大概知道Wittenberg的思路，但也看出来有些我遇到过的困难他没有提到如何解决，当然这些是细节问题，在报告上不可能照顾到。我老板也跟他私下要到了他写的一份草稿，在保证不外传的前提下我读到了这份草稿。证明思路已经很清楚，细节也经得起验证，基本上是正确的，但毕竟没有最后成文，我还是有些细节没办法弄清楚，有些东西他没有在文中提到的我不知道他是不是也已经做出来了。其实我当时有点沮丧，他的结果基本上可以包含我已经得到的结果。不知道是不是我老板的直觉良好，还是只是一个安慰，老板的建议是承认我师叔的结果，然后去研究希尔伯特子集，只要等我师叔的结果一正式出来，希尔伯特子集的研究就可以加上去，马上就会是新的结果。其实我当时挺不甘心的，而且在我看来往希尔伯特子集上方向前进并不是特别有意义的方向（对比有理点的类似问题后得出的结论）。我看了看希尔伯特子集的文章，没有仔细读，觉得有点读不明白，没太多停留就离开了。我没听老板的建议，还是接着暑假前的想法继续往下走。我还是抱有一点点希望，毕竟我师叔只是对全虚数域讨论的，而我的办法可以对任何数域行得通。于是接下来的两个月我再多写下了第两节的草稿，我未来的博士论文增长到了二十页左右。由于技术上的问题，我证明时加了一个很诡异的条件，我当时以为这个条件至少亏格1的曲线都是满足的，我老板也没有看出来有什么毛病。到11月的某天，我突然意识到其实这个条件是没办法被满足的，除非是亏格0的曲线，后者是20年前已经知道的结果，我也就模仿这个办法希望把它推广到一般曲线上，结果是白费两个月没有前进一点点。在无路可走的时候我回头考虑老板给我的建议，仔细读懂了关于希尔伯特子集的讨论，并且尝试把有理点的情况推广到了闭点，再加上别的技巧，到了0-cycle。实现这其实并不困难，也就不到两个星期的时间。不过这两个星期的感觉是很神奇的，晚上一直追着问题的细节到深夜，脑袋依然很清醒不想去睡觉，但是身体的其他部分告诉你已经很累了，眼睛都发涩了，只能暂时离开草稿纸去睡觉，并不用等到闹钟响，就会自动醒来，眼睛都还没有睁开脑袋里就已经冒出昨晚没做完应该接着的地方，然后就是反复的批判自己的论证，找找其中是不是有漏洞和不合理的地方。其实我觉得那种感觉特疯狂，小时候喜欢做数学竞赛里的一些很有意思的平面几何和数论题目时也是这样，不把它证明干净就是舍不得去睡觉。不知道是不是就是这种神奇的感觉一直把我带到了现在依然还在考虑数学问题。今天回头看来，这确实是一个突破，这正是我整个博士论文研究的开端。圣诞前我草稿的前三节已经写好，但希尔伯特子集的研究依然停留在亏格0的曲线上，欣喜的是我也看到了下一步我应该做的两件事情，一是沿着师叔提供的办法走一步（其实我很明白只要这步走成了Poonen的例子就马上纳入我的框架了），而是沿着我老板的博士论文的方向走一步。其实这时候我已经很清楚为什么我老板要让我考虑看起来并不起眼的希尔伯特子集，突然非常赞赏我老板的眼光，其实这正是我老板博士论文中最关键的一个中间角色，一个既不大（其上的纤维的Brauer群可以比较）又不小（某种意义下稠密）的集合。其实，这个时候HY的第一篇文章已经在arxiv上挂出来好几个月了，在巴黎高师已经给了一次报告，而且文章还飞快的被接收，WWL的大作也早已面世，这些给我是无形的压力，毕竟你身边的人都走得很快的时候你就会不自觉的怀疑自己是不是走得太慢了。在那时跟我同时开始博士论文的TS还没有动静，而CZB更是三年来一直不动声色的，我们都觉得他一定在做他的大牛老板给的大问题。

圣诞回来，2010年开始我继续读我师叔的文章，朝第一个目标努力。只是我师叔的草稿还没正式成文，还有不少细节我无法知晓，有些困难我不知道他是怎样过去的，尽管我老板已经催他尽早成文，但这估计还要等上一段日子。我就这样跟我老板耗在他那份草稿上两个多月没啥实质性的进步。最终还是4月份时我们俩找他当面讨论了一次，也就一个多小时的讨论，算是基本上把我存疑的一部分解决掉了。我给他陈述问题的时候也不动声色的提到我的结果，果然他一眼就看出来这是一个新的结果。这次讨论以后似乎一切都顺利起来，我马上就把我草稿的第四节写好了，这已经能够包含了最初的目标：Poonen的例子。其实这段日子我的压力陡增，TS一下子在arxiv上挂出来两篇文章。我自己确实沉不住气了，我主动跟我老板提出个要求：我希望毕业的时候有文章，可不可以把现在草稿里的一部分整理出来？我老板同意了我的建议，他让我把前两节写出来成一文章，其实我觉得他的拆分挺奇怪的，这两节用的办法完全不一样。不过我可以猜到他的考虑，毕竟我的第一节几乎会被我师叔将要写好的文章覆盖掉，加入第二节是为了保证有新的东西在里头。于是我就照着干了，而且决定用法语写，为了练练我的法语写作，趁着还有人义务给我改语法的时候尽早写，估计以后再练习法语写作的机会就不多了。也就花了大概1个月的时间我就把初稿写出来了。正在我老板努力帮我改法语的时候我对希尔伯特子集突然有了新的认识，对任意亏格的曲线的希尔伯特子集用一种相对简单的办法得出我想要的性质。于是我的第二节也马上可以用跟第一节统一的办法推广到在一般亏格的曲线上的丛的全空间上的0-cycle的算术结果。也就凭着希尔伯特子集的这个我师叔没考虑的概念，使得他将要出来的文章本质上无法包含我的结果了，而且我也提前成功纳入了Poonen的例子。经过反复修改，两三个月之后我的第一篇文章算是基本定稿了。在此之间，刚毕业的HYQ和毕业才两年的TJL同时找到了外省的讲师永久职位。其实很给我鼓舞的，至少看到了机会，心想着是不是也有哪一天轮到自己也有这样的机会。不过找永久职位需要实力加上运气，对于我们外国人谁也不敢期盼太多吧。暑假回来，2010年10月，我也第一次在巴黎高师的讨论班上给了一小时的学术报告。印象是法语说的十分烂，要讲的内容基本上算是表达出来了。Gabber问了很多我不会答的问题，问得我满脸汗。不过，总算有了第一次的经历，这是我第一次作学术报告（讲讨论班的当然不算），第一次在别人面前讲自己做出来的结果，这么重要意义的第一次报告居然是在巴黎高师作的，这对于我而言已经是惊喜了，在本科的时候，我从来不会想过我能有自己的定理，而且能在巴黎讲给各位行内最牛的数学家听。这居然成为了现实！

2010年10月，同时由于已经有的想法都已经写成了草稿，短期内没有新主意了，而师叔的文章还没正式出现，的是我把朝我老板博士论文方向走的那一部分写成文章。其实这一部分我自认为是相对比较无聊的部分，我的工作基本上只是照抄了我老板这部分的讨论，在必须的地方作细微改动，没多大意思，所以我只想赶快写完这部分，尽早腾出时间来再做点新的东西。TS和WWL这时估计都可以开始准备毕业了，而我觉得我做的结果还没到该毕业的地步。毕竟感觉到到当时为止并没有特别大的创见，还是停留在我老板给我指的那一条路上。虽然老板已经建议我去申请来年的博士后，也跟我谈了，把现有的东西整理成文，然后再把剩下来的一个问题在考虑一下就差不多应该毕业了（把底空间射影直线推广到高维的射影空间，对于有理点的情形用Skorobogatov的一个技巧就能简单推广，然而对于0-cycle我早就试过这个办法，完全是行不通的）。其实我本身对自己现有的结果并不满意，已有的结果也将被师叔的结果覆盖很大一部分，就这样毕业离开老板感觉并不是合适的时间点。我的师兄Demarche可是带着5篇文章毕业的，而且都是质量很不错的结果，我自己怎么样也不能太差劲吧。但是比较郁闷的是对于留下来的问题，我目前是一点想法也没有，觉得啃不动。写作第二篇文章的过程中发现其中一个错误，当时就把我吓傻了，这一个不显眼的错误可以导致我后几节的论文的推理全都失效，不过我是幸运的，在换一种具体实现技巧之后，几乎整个推理过程可以保留无损的修正过来，这回确实吓出我一身冷汗。这时候师叔的文章也放到arxiv上了，十分打击我的是，他居然用一个我完全没法看懂的我老板也从来没看懂的van Hamel的技巧把他全虚域上的结果做到任何数域上都对。这就相当于包含了我已经刚投出去的文章的大部分内容，不过也幸亏我老板当初让我在写第一篇文章时坚持让我加入第二节里的希尔伯特子集的内容，这部分现在成了文1的闪光点，就正是这使得文1包含了Poonen的例子。从半年后文章的修改意见中看出审稿人也认同，这一点正是文1得以被接收的关键。记得那是11月吧，一次去高师讨论班的时候在Orsay火车站遇到了CT，于是在去巴黎的火车上我就把刚写完的第二篇文章给他看，让他给意见。他当场就在跟我想例子，考虑射影平面上的一个丛的全空间，如何把它看成射影直线上的一个丛，只要用一种合适的方式看，这个新的丛就能有好的性质，在火车上我并没有完全明白他究竟是什么建议，上面的表述是我之后两天摸索出来。刚好晚上回家的路上又一次在火车站遇见CT，我又问了他另一个相关的命题的参考文献，他倒是给我一个直接的口述的证明，我还是听得糊里糊涂，不过似乎悟出了一点点东西。之后的那两三天我根本没有一天能睡上安稳觉，一天到晚就在琢磨那天火车上两次碰面说过的东西。就这么痛苦了三天之后我基本搞明白了，而且能写出个思路来，不单单射影平面上的丛可以搞定，一般n维射影空间的来个归纳法也能搞定！这简直是一个惊喜，一下子顺带把我老板之前留的问题之一也干掉了！！那个星期正在继续修改我的第二篇文章，由于老板让我多加些例子，我盯着他博士论文里代数群的一个应用，我的结果只能用在有丛结构的底空间是射影直线的特殊的代数簇上，某些时候代数群会天然的带这样一个结构，但这得加条件。但我老板觉得我加这个要求十分诡异，觉得多了这么个射影直线上的丛结构对0-cycle的Chow群影响不大，所以帮助应该不大。但我倒感觉这是个关键。之后一个星期的讨论班，我结束了就离开了，反而我老板问了我师叔“加入个射影直线对于正在考虑的问题影响大不大？”这样一个问题，晚上发信告诉我，师叔也同意他的观点，作用不大。但我一见到师叔那个小小的论证，我马上意识到我已经证明了的东西加上师叔那个小技巧即时推出一个让我自己都感到十分惊讶的结果！太出人意料的推论了，有理点的算术的结论可以推出0-cycle的算术的结论！立即的应用就是线性代数群的一类齐性空间，这正是CT一个猜想的一个情形和他猜想的重要证据。我兴奋的给我老板邮件告诉他结果，收到回信是他没弄明白我的论证。于是我连夜把正式的证明写了出来发给他看。接下来的三四天我到现在都难忘。我老板开始压根不相信这样一个结果被我这么简单的论证就写了出来。他开始怀疑我整篇文章里头有错误！于是就是来回邮件说服与反说服，还紧急约了一次见面。平时我们的见面频率一般都是每10天一次左右，而这两个星期以来我们都已经碰面两三回了。就这么紧张论战了3天，他最后终于相信了，我的心头大石终于放了下来。我记得期间有一次我急了，在邮件里说“从没想到你居然这么难被说服。”他也承认，不过他解析说这是他的工作，仔细验证我的结果那是导师应该干的。他确信我是正确的时候跟我说，咱们去找CT报告这个新结果给他听吧。结果CT看了果然很喜欢，虽然那两个星期他正忙着别的事，还是把我叫到办公室当面读了我的文章，问了其中若干细节，当场给我修改了很多东西。这让我有点受宠若惊。后来我总结出的规律是，CT一般很忙，最闲的是在火车上的时间。于是以后我自己做到穷途末路真的没有点子的时候我就在去巴黎讨论班的火车站那堵他，结果还真被我堵到了，那回他又一次给我的第三篇文章找例子，结果被他一启发，我还真有整出一族例子来。说回来我的第二篇文章，由于我老板和CT都觉得结果很有意思，结果我投到Duke后两个月就被拒了，再次改投ENS的年刊，回信居然说只喜欢我其中的某定理（就是CT和我老板都喜欢的那个结果）让我写个直接的证明就好，别的大部分他们没兴趣。于是就导致半年后的一顿折腾，把文章一拆为二，其中最漂亮那部分几乎是重写了。现在看来，当时急了，被那个有意思的结果深深吸引住了，急着把它赶快投出去，其实确实应该独立出来把证明简化了，再加入更多的思考做一个更独立更完美的结果的。时间回到这个结果在咱们内部确认是正确的时候，圣诞节也将要来临了，我好好休息了一下。确实那两个星期的突然爆发让我兴奋过度了，精神也高度紧张，终于到了可以松一口气的时候了。也是大概这个时候吧，我真正觉得自己应该可以毕业了，离开我老板自己一个人出去闯一闯，学着更独立做研究的时候该到了。就因为这一次，我看到了我老板没能看见的东西，甚至是他不相信的东西。2011年回来的任务就是整理我最后的那一部分草稿，这时候师叔的文章也成文了，我的这部分就能确切的写出来了。其实这一部分的结果包含了我的第一篇文章和我师叔的文章里的主要结果。证明的方法正是我老板建议的对希尔伯特子集的研究加上我师叔那套办法。思路是清楚的，比较累人的是证明的细节，表述起来实在是太费劲了。大概2011年4月份我的第三篇文章也算是定稿了。博士的最后一年除了整理文章还应该找机会去报告自己的结果，于是自己找会开，主动要求报告，这也没办法了，我不是什么大牛人，等别人主动邀请还不如自己活跃点主动出击。这时第一篇文章也被顺利接受，第二篇的修改意见也到了。一切就变得顺利许多了。组装了一下三篇文章就成了我的博士论文，加入个总的引言正好100页，很让人满意的一个数字。TS，WWL也答辩离开，去马普和晨兴了。HY的第三篇文章也已经到arxiv上了，估计也快能毕业了。最后的日子里我把之前说道我最喜欢的那个结果独立写成文，以更为简洁漂亮的形式呈现出来。我的博士阶段就已经接近尾声了。

回顾这三年，曾经有一段我很绝望，我很不相信我老板，我觉得他根本就对我的博士题目没有把握。其实也许真的是这样的，他大概真不知道细节去做能不能做出来，但是只是觉得大方向大概能出来点什么结果，但当我在细节上被卡死的时候他还是一丁点办法都没有的。我身边的同学们，如果不是你们一直都跑的那么快，总给我无形的压力，我估计还在这慢慢悠悠的没法完成我的博士论文。我也从没想过这样一个题目能挖出这么多意想不到的结果，以至于我三年全都忙乎于同一个问题里。其实这有好处也有坏处吧，可以一口气把能做的都做干净，对这个问题的认识会比较深，缺点是离开这个小小的问题，对别的问题深入不多。像HY的博士论文就涉及两个以上的方向，他就能对两个方向的文献和方法都很熟悉。

我的运气算是比较好的，整个博士论文在大约3年里完成，中间有过不少波折，但都不是致命的，最终也得到了自己相对满意的结果。

想想以后，也许很难有机会再有这么长的时间专注在一个问题上，所以还是把这一段难得的经历用文字记录下来。这些都成为了我的第一笔经验，也许以后遇到更多的事情能因此变得更加淡定。

探索的过程其实真的很刺激，有让人沮丧至极点的时候，也有让人激动的无法入睡的时刻，也有来回纠结闹心的日子。可能是这些一直吸引我，让我把数学列为我生活不可缺的一部分。 每当发现一个新的结果，你知道这世界上那一刻只有你自己一个人意识到这个真理的时候，感觉很特别神奇，非常想跟别人分享，非常想得到别人的认可，希望告诉全世界这存在着一片从未被发现的大陆。