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定义
其中曲线上的线元
，方向是曲线的切线方向，其正方向规定为使得闭合曲线所包围的面积在它的左侧。举例来说，假如在河岸边看到河中有逆时针旋转的漩涡，那么在漩涡范围内，水流围绕涡心旋转，所以水流速度沿着逆时针围绕漩涡的闭合曲线积分一定大于零，即是说
环量
大于零。这说明漩涡中的水流流速场在漩涡范围内是转圈旋转的。
环量和
通量
一样，是描述向量场的重要参数。某个区域中的环量不等于零，说明这个区域中的向量场表现出环绕某一点或某一区域旋转的特性。旋度则是局部地描述这一特性的方法。为了描述一个向量场在一点附近的环量，将闭合曲线收小，使它包围的面元
的面积趋于零。向量场沿着
的环量和面元的比值在趋于零时候的极限值：
就是环量的面密度（或称为环量强度）。显然，随着面积取的方向不同，得到的环量面密度也有大有小。如果要表现一点附近向量场的旋转程度，则应该表现出其最大可能值以及其所在面积的方向。而向量场的旋度是一个向量。它在一个方向上的投影的大小表示了在这个方向上的环量面密度的大小。也就是说，在一点的旋度记为
或
，满足：
(
为
所在平面的法向量。)
坐标系中表示
的向量叫做向量场
的旋度，也就是：
需要注意的是这里的行列式记号只有形式上的意义，因为真正的行列式中的系数应该是数而不是这样的向量。这种表示方法只是便于记忆旋度在直角坐标系中的表达式。但是如果套用了这个行列数算出来的就是一个向量了。就是说这在数学中是不规范的写法，但拓展开来用在物理上就套公式就可以了。
向量场
的旋度就是：
例子
图1
假如在图中放一个点，它会被向量场“推动”，沿顺时针方向绕圈运动。根据右手定则，旋度的方向应该是朝向页面内。按照右手系坐标的方向，旋度的方向是
轴的负方向。
经过计算可以得出，向量场的旋度为
以上的计算表明，对于该矢量场，旋度是一个恒定的量，也就是说，每一点上旋转的程度都是一样的。
旋度图象为图2：
图2
图3
向量场的作用是向下，越是靠近两侧，向下的趋势越显著。假想这个向量场是一个力场，一块薄板水平放在图的右边，那么由于更靠右的地方受到向下的力更大，薄板会顺时针转动。类似地，如果将薄板水平放在图的左边，则会逆时针转动。所以的旋转作用是右侧顺时针、左侧逆时针，而且越偏离中心，作用越大。按照右手定则，旋度应该是右侧朝
轴负方向（指向页面内），左侧朝
轴正方向（指向页面外）。实际的计算可以得到：
所以
时是朝
轴负方向，
时是朝
轴正方向，和直观推断相符合。
性质
用旋度表示，就是：
这个公式是一般的
斯托克斯公式
（在
n
=2时）的特例，在欧氏3维空间上的
向量场
的旋度的曲面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系。具体就是，向量场
在某个曲面的封闭边界线上的闭合路径积分，等于
的旋度场在这个曲面上的积分。
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历史
中的
称为“标量部分”，将
称为“向量部分”。他引入了四元数的偏微分算子
（即
算子）后，计算对一个四元数之向量部分
的效果：
麦克斯韦
在1873年的论文中将其中的“标量部分”：
称为“聚集度”（Convergence），而将“向量部分”：
称为“旋度”（Curl）或“变度”（Version）。他在写给泰特的信中解释了他起名“旋度”前的想法。他最初想将这一部分称为“扭曲度”（Twist），但可能会被理解为“旋扭”（screw）或“螺旋”（helix）；而他想表达的概念是类似“转”（turn）或“变动”（version）。他曾想用“拧动”（Twirl）一词，但又认为它太过“活泼”（racy），对于数学家来说动感过于强烈，所以最后使用了“旋度”。
海维赛德
在1883年发表的论文：《电学与磁学中的若干关系》（
Some Electrostatic and Magnetic Relations
）中讨论了
算子对一个四元数
的作用效果。他认为有必要将
的三个部分分开，将
的向量部分分成散度部分
和旋度部分
。
[5]
