分形

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几何学术语

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分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。

分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。

分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。

中文名: 分形
外文名: Fractal
定义: 非整数维形式充填空间的形态特征

提出者: 芒德勃罗
原意: 具有不规则、支离破碎等意义
提出时间: 1973年

简介

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“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物理学家惠勒

耶鲁大学网站Benoît B. Mandelbrot个人主页

分形理论是在上世纪70年代由芒德布罗几乎集一己之力创立的，但其严格的数学基础之一—— 芒德布罗集，却是70年代末芒德布罗及布鲁克斯、马蒂尔斯基以及道阿迪、哈伯德、沙斯顿等人几乎同时分别建立完善的，他们的思想都源自上世纪前叶一些前辈如法图、莱维、朱利亚的有关思想。

中文文献中芒德布罗的译名一直不统一，芒德布罗本人使用的中文名字是“ 本华·曼德博 ”，可见于其耶鲁大学网站个人主页照片，为竖排繁体汉字手写体 ^[1] 。全国科学技术名词审定委员会在数学、物理学、力学等几个学科术语的译名中，使用的都是“芒德布罗” ^[2] 。本华·曼德博（1924－2010，法语原文Benoît B. Mandelbrot），生于波兰的立陶宛裔犹太家庭，主要成长教育经历是在法国完成的，后长期在美国工作。如果追求音译的准确，还应考虑Mandelbrot姓氏最初的来源，这是一个明显地具有阿什肯那兹犹太姓氏特征的姓（德语“杏仁”+“面包”）。

分形现已成为应用极为广泛的学科。芒德布罗个人风格独特，对各类看似“ 无定形 ”、“不光滑”的“怪东西”皆富有兴趣，也正是这样他才能最终抽象创立出分形这门学科。曼德布罗特来访过中国大陆一次以上，称中国文字个个是图形，与他路数相合（芒德布罗本人习用法语）。中国最早使用分形理论的可能是金属学界。

现今人们熟悉的分形的著名实例，如用“镂空”办法制成的康托尔集、谢尔宾斯基三角形 (Waclaw Sierpinski,1882-1969，波兰数学家)及门格奶酪或称门格海绵（Menger，1902-1985，为著名经济学家门格之子），它们的非整数维数是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积令人吃惊的皆为0。另一个用“凸起”办法制作的科赫曲线 (H.von Koch,1870-1924，瑞典数学家)，其维数是1.26，它的长度则是无限的，可它围住的面积却有限。

分形作为一种数学工具，现已应用于各个领域，如应用于计算机辅助使用的各种分析软件中。

由来

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据芒德布罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词 fractus ，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，芒德布罗一直使用英文 fractional 一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。芒德布罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

探讨

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几何学

分形几何与传统几何相比有什么特点：

⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念可以从两方面建立起来：一方面，首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：

a^D=b,D=(ln b)/(ln a)

由若干条Koch曲线组成的Koch雪花

的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当画一根直线，如果用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果画一个 Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。 Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的

形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数（分维数）为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...

概况

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定义

芒德布罗曾经为分形下过两个定义：

（1）满足下式条件

Dim(A)＞dim(A)

的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff 维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到当下为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

分形一般有以下特质：

在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述；（至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；有著简单的递归定义。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

（iv）一般，分形集的“ 分形维数 ”，严格大于它相应的拓扑维数。

（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

意义

上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。

中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。

历史背景

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在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在欧几里得空间（Rn,Euclidean）对其研究和度量，其中字母n 表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间，在相应的空间中，可以测得几何对象的长度、面积、体积等。但是大约在1个世纪前，在数学领域，相继出现了一些被称为数学怪物（mathematical monsters）的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述其整体或局部性质，其中，比较著名的

Von Koch曲线

数学怪物包括：

科赫曲线此曲线在一维下测量任意段长度为无穷大（想象中，考虑到能测量原子的维度）；在二维下测量面积为零

谢尔宾斯基三角形此图形面积为零

康托尔集

这些数学怪物困扰数学家许多年，直至20世纪，被美国数学家Benoit B. Mandelbrot创立的分形几何学 (fractal geometry)彻底解决。Mandelbrot提出：之所以无法用几何语言去描述这些数学怪物，是因为在维数为整数的空间中，用维数同样是整数的“ 尺子 ”对其丈量、描述；而维数不应该仅仅是整数，可以是任何一个正实数；只有在几何对象对应的维数空间中，才能对该几何体进行合理的整体或局部描述。以上图的 Koch曲线为例，其维数约为1.26，应用同样为1.26维的尺子对其进行描述，比如取该曲线前1/4段作为单位为1的尺子去丈量这个几何体，此几何体长度为4。也正是因其维数介于1维与2维之间，所以此几何体在1维下长度为无穷大，2维下面积为零。

Fractal这个词是由Mandelbrot于1975创造的，来源于拉丁文 “Fractus”，其英文意思是broken，即为“不规则、支离破碎”的物体。1967年，Mandelbrot在美国《Science》杂志上发表题目为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，标志着其分形思想萌芽的出现。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》，1977年，在美国出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形状机遇和维数》），同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形几何》），但是这三本书还未对社会和学术界造成太大的影响。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形几何》）第二版才得到欧美社会的广泛关注，并迅速形成了“分形热”，此书也被分形学界视为分形“圣经”。

发展史

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分形学发展史上的重要里程碑

1883年 Cantor集合被创造

1895年 Weierstrass曲线被创造，此曲线特点是“处处连续，点点不可微”

1906年 Koch曲线被创造

1914年 Sierpinski 三角形被创造

1919年描述复杂几何体的Hausdorff维问世

1951年英国水文学家Hurst通过多年研究尼罗河，总结出Hurst定律

1967年 Mandelbrot在《Science》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》

1975年 Mandelbrot创造“Fractals”一词

1975年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》

1977年 Mandelbrot在美国出版英文著作《Fractals:Form,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》

1982年《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引发“分形热”

1991年英国的Pergman出版社创办《Chaos，Soliton and Fractal》杂志

1993年新加坡世界科学出版社创办《Fractal》杂志

1998年在马耳他（Malta）的瓦莱塔（Valletta）召开了“分形98年会议”（5th International Multidisciplinary Conference）

2003年在德国的Friedrichroda召开了“第三届分形几何和推测学国际会议”

2004年在加拿大（Canada）的温哥华（Vancouver）召开了“分形2004年会议”（8th International Multidisciplinary Conference）

种类

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逃逸时间系统：复迭代的收敛限界。例如： Mandelbrot集合、 Julia 集合、Burning Ship分形

迭代函数系统：这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。例如：康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。

吸引子：点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例如：Lorenz吸引子。

应用

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科学与艺术的美妙结合—— 分形艺术

分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。

分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。

分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使从前枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁。

“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。普通的“ 电脑绘画 ”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。而“分形艺术”是纯数学产物，创作者要有很深的数学功底，此外还要有熟练的编程技能。

苑玉峰老师认为分形图像有如下用途：

1、制作成各种尺寸的装饰画（用卡纸装裱，可获得很好的装饰画效果）。

2、用作包装材料图案，效果新颖。

3、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡等。

4、应用于印染行业。

5、装点科技馆、少年宫、旅游景点等。

刘华杰博士认为：

1、将高精度分形图形具体应用在建筑设计中，可以考虑将整面墙壁用一幅分形图装饰。

2、研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺。

3、设计分形时装。

4、将分形图形用于信息加密防伪。

5、印制分形贺卡、明信片和小台历

软件

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Ultra Fractal

Visions of Chaos

Fraciant

Apophysis

Incendia

Mandelbulb 3D

Jwildfire

MathStudio（手机软件）

阴阳集，分维D=1

五行集，分维 D=1.4650

阴阳五行-脏腑（藏象：五脏五腑）的分维D=2.0959.

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