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牛顿-莱布尼兹公式，又称微积分基本定理，最初指微积分理论中由
牛顿
和
莱布尼兹
两人分别独立发现的求
定积分
的方法。该公式将函数的定积分与
原函数
联系起来，为计算提供了简便的方法。这不仅是一个用于计算的重要的积分公式，也是分析学的基本公式。
牛顿-莱布尼兹公式可以拓展到高维空间、高阶导数。在现代数学中，随着勒贝格积分理论、测度理论的发展，微积分基本定理的形式也能得到拓展。
- 中文名
- 牛顿-莱布尼茨公式
- 外文名
- Newton-Leibniz formula
- 别 名
- 微积分基本定理
- 学 科
- 数学，微积分
- 研究对象
- 积分
目录
- 1 1 发展简史
- ▪ 1.1 牛顿：流数与反微分
- ▪ 1.2 莱布尼兹：微分与反切线
- ▪ 1.3 归属权之争
- 2 2 公式内容
- 3 3 公式证明
- 4 4 应用举例
- 5 5 高维拓展
- ▪ 5.1 混合二阶导在方形区域积分
- ▪ 5.2 混合高阶导在高维方体积分
- ▪ 5.3 格林公式
- ▪ 5.4 高斯公式
- ▪ 5.5 斯托克斯公式
- 6 6 勒贝格积分版本
- ▪ 6.1 内容
- ▪ 6.2 证明
- 7 7 一般测度空间版本
1 发展简史
播报
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1.1 牛顿：流数与反微分
牛顿把方程
看作是一条水平直线和一条垂直直线的交点轨迹，这两条直线运动的速度被称作“流数”，分别为
和
。
[1]
它们的比恰为
对
的导数。
有了上述的关系式后，牛顿提出了一个反问题，即“反微分问题”
[1]
：给定流数比与
之间的关系，试用
的表达式求出
。用现代的数学语言来阐述，即解微分方程：
牛顿最早于
1666年10月
借助反微分给出了一个计算面积的方法，被认为是历史上第一次以明显形式出现的微积分基本定理：
其中
表示曲线
下的面积
牛顿法
图源：参考资料
[1]
图8.3
1.2 莱布尼兹：微分与反切线
在莱布尼兹的微积分体系中，图形面积用一系列高为
，宽为
的无穷多个小矩形之和来表示，即
为了得到一个图形的面积，莱布尼兹通过它的割圆曲线来求解。
假设一条曲线的纵坐标为
，可以求出一条纵坐标为
的曲线使得
其中
是常数。此时
所以，在莱布尼兹给出的微积分基本定理中，求面积问题转为反切线问题
[1]
。令上式中的
，则只需找到一条曲线满足
并假设
曲线通过坐标原点，则
莱布尼兹在
1684年
首次发表这些关于微分的结果时并没有进行足够的无穷小量考察，只称这是“一种适用的新方法、一种值得注意的演算”
[1]
。
1.3 归属权之争
牛顿在微积分的建立过程当中，对符号表示法并没有表现出兴趣，而是重点关注用这些工具来解决一些特殊的问题；莱布尼兹则一直以一般化的方法和符号体系为工作重点。
牛顿关于微积分的奠基性工作是在1664年到1666年完成的，而莱布尼兹的工作是在1672年到1676年完成的。但是，莱布尼兹在1684年和1686年首先发表了他的结果，牛顿则是首先在他的同事之中散发手稿，直到1687年的《自然科学的数学原理》和1704年的《光学》之后，才正式把他的微积分工作发表出来。
在十七世纪九十年代后期，莱布尼兹开始受到牛顿的继承人的攻击。他们认为莱布尼兹得到和利用了牛顿此前的结果，但并未致谢，公开指责他进行了剽窃。对此，莱布尼兹在1711年向伦敦皇家学会提出申诉，期间，莱布尼兹是会员而牛顿是会长。在次年的判决中，皇家学会任命的委员会认定莱布尼兹有罪。
这场论战是不幸的。与其说是数学上的分歧，不如说是因为英国和欧洲数学家之间的民族主义敌对情绪导致了这些；只要对两人的工作做仔细的研究，就会发现两人的贡献显然是各自独立完成的。
[1]
后来，在这场纷争中取得“胜利”的英国数学家们坚持牛顿的传统方法，排斥莱布尼兹的解析方法，在一段时间内脱离了数学发展的主流。不可否认，牛顿的成就促成了数学和各种其它科学的进步，但这些更多地依赖于莱布尼兹的微积分方法。
2 公式内容
播报
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在黎曼积分的意义下，牛顿-莱布尼兹公式的表述如下：
定理（牛顿-莱布尼兹公式 / 微积分基本定理）
如果函数
是连续函数
在区间
上的一个原函数（即：
），那么
该公式的右侧有时也写作
。
该公式给出了用原函数计算定积分的方法，是一个用于计算的重要的积分公式，也是分析学的一个基本公式。如果将公式拓展至无穷区间，或者在区间边界无界的情形，牛顿-莱布尼兹公式有时也成立，此时的定积分被称为“反常积分”或“瑕积分”。
3 公式证明
播报
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给定
上的一个连续函数
，可以借此在
上定义出如下的函数：
该函数被称为积分上限的函数
[2]
，并且具有下面的性质：
定理
如果
在
上连续，那么
可导，且
。
证明：对于
，取
使得
，那么
于是
若
则取
，若
则取
，即可同理得证。
由上述定理，即可证明牛顿-莱布尼兹公式。
证明：由上述定理，
是
的一个原函数。因而如果
也是
的一个原函数，则
其中
为常数。代入
即得
再令
即得
移项即得牛顿-莱布尼兹公式在
时成立。
如果
，只需利用
从而牛顿-莱布尼兹公式也成立。
4 应用举例
播报
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例1
计算
。
解：由牛顿-莱布尼兹公式，因为
的原函数为
，故
例2
计算曲线
在
与
之间与
轴围成的曲边梯形的面积。
解：由题只需计算
由牛顿-莱布尼兹公式，因为
的原函数为
，故
例3
计算曲线
与
之间围成的图形面积。
解：由题只需计算
由牛顿-莱布尼兹公式，因为
的原函数为
，故
5 高维拓展
播报
编辑
牛顿-莱布尼兹公式还可以视为连续函数在一条线段上的积分与边界之间的关系。从这个角度来说，下面这些式子可以视为“区域积分与边界关系”的高维拓展。
5.1 混合二阶导在方形区域积分
对于二阶导连续的二元函数
，在
中的一个边与坐标轴平行的矩形
的顶点分别为
。那么
证明：只需利用两次一维的牛顿-莱布尼兹公式：
5.2 混合高阶导在高维方体积分
类似地，可以把上述公式推广到更高的维度。
对于
阶导连续的
元函数
，在
中的一个边界与坐标平面平行的方体
由
截得
那么
5.3 格林公式
设有界闭区域
，其边界
是分段光滑闭曲线，
上有可微的向量场
，
为
的单位法向量，
为
的单位切向量。那么有
或者记为
又或者记为
上述公式建立了二重积分与第二型曲线积分之间的联系。
5.4 高斯公式
设有界闭区域
，其边界
是分片光滑闭曲面，
上有可微的向量场
，
为
的单位法向量。那么有
或者记为
上述公式建立了三重积分与第二型曲面积分之间的联系。
5.5 斯托克斯公式
设光滑曲面
，其边界
是分段光滑闭曲线，
上有可微的向量场
,
为
的单位法向量，
为
的单位切向量。那么有
或者记为
又或者记为
上述公式建立了第二型曲线积分与第二型曲面积分之间的联系。
对于第二型积分，还可以将其理解为微分形式在流形上的积分。对曲线和曲面的积分以及它们之间的关系公式，可以推广更至高维的流形上。
对于
维的边界
可定向的紧流形
,其上的
形式
满足广义斯托克斯公式：
6 勒贝格积分版本
播报
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自20世纪“勒贝格积分”的提出以来，实函数积分的概念完成了一次重大的飞跃。在勒贝格积分的意义下，也有对应的牛顿-莱布尼兹公式。
6.1 内容
定理（勒贝格积分下的微积分基本定理）
是
上的绝对连续函数，当且仅当
其中，积分是在勒贝格积分意义下的。
绝对连续函数的定义为：
对于任意的
，存在
，使得对于任意一族互不相交的开区间列
，当其总长度
时，有
那么称
是
上的绝对连续函数，又称全连续函数。
6.2 证明
首先需要证明绝对连续函数的一个性质。
定理
是
上的绝对连续函数，如果
在
上几乎处处为零，那么
是常数。
证明
[3]
：由绝对连续函数的定义，对于任意的
，存在
，取任意一族总长度小于
的互不相交的开区间列
，有
令
，那么
，所以存在开集
而且其测度
。假设互不相交的开区间列
构成了上述的开集
。
另一方面,对于任意
,都有
。存在正数
使得当
时有
此时，上述的
构成了
的一族开覆盖，从中可以选出有限的子覆盖。不妨设它们是：
在这些区间的边界的基础上，再加入适当的点，即可构成一组分割：
并且对于任意的
，都有：要么
含于某个
中，要么
含于某个
且
要么
含于某个
且
，故而：
令
即得
。对于任意的
，上述过程对于
和
也成立。从而可知对任意的
，都有
，定理得证。
除了上述定理外，这里不加证明地指出：绝对连续函数是连续的有界变差函数，几乎处处有有限导数，且导函数可积；绝对连续函数的和、差也是绝对连续的。
接下来证明勒贝格积分下的微积分基本定理：
证明
[3]
：首先证明满足牛顿-莱布尼兹公式的函数一定是绝对连续的。
这里可以看出绝对连续函数的定义就是从（勒贝格）可积函数的积分绝对连续性得出的。假设
上的一个可积函数
，存在一个函数
满足
那么由积分的绝对连续性，对于任意
，存在
，使得对于
中至多可列个互不相交区间族
，当其长度之和
时有
然后证明绝对连续函数一定满足牛顿-莱布尼兹公式。
构造
那么
也是绝对连续函数，
也是绝对连续函数，并且其导数几乎处处为零。故
为常数。又因为
，
，也即
综上，勒贝格积分的微积分基本定理得证。
7 一般测度空间版本
播报
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在一般的测度空间中，有拉东-尼古丁定理（Radon-Nikydim），与牛顿-莱布尼兹公式的形式相近。此处只介绍其内容，证明略去。
设两个测度空间
和
，如果对任意
，都存在
，当
满足
时，必有
，那么就称测度
关于测度
是绝对连续的。
上述的定义还等价于，对于任意
，
。
[3-4]
定理（Radon-Nikydim）
给定两个测度空间
和
，测度
关于测度
绝对连续，当且仅当存在
上的可测函数
，使得对任意
，有
上述定理中的
又被称为测度
关于测度
的Radon-Nikydim导数，记为
