排队论（Queuing Theory）也称 随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。
它研究的内容有下列
三部分：
（i）
性态问题
，即研究
各种排队系统的概率规律性
，主要是
研究队长分布、等待时间分布和忙期分布
等，包括了
瞬态和稳态两种情形
。
（ii）
最优化问题
，又分静态最优和动态最优，前者指
最优设计
。后者指现有排队系统的
最优运营
。
（iii）
排队系统的统计推断
，即判断一个给定的
排队系统符合于哪种模型
，以便根据排队理论进行分析研究。
一、基本概念
1。排队论的一般模型
图中
虚线
所包含的部分为
排队系统
。各个顾客从顾客源出发，
随机地
来到服务机构，
按一定的排队规则等待服务
，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。
凡要求服务的对象统称为 顾客，为顾客服务的人或物称为 服务员，由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说，
如果服务机构过小
，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。 因此，顾客总希望服务
机构越大越好，但是，
如果服务机构过大
，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，
因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。
2.排队系统的组成和特征：
输入过程、排队规则、服务过程三部分
1）输入过程
（i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。
（ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。
（iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响；否则是相关的。
（iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。
2）排队规则：损失制，等待制和混合制三种。
排队方式还分为单列、多列和循环队列。
（i）损失制（消失制）。当顾客到达时，
所有的服务台均被占用，顾客随即离去
。
（ii）等待制。当顾客到达时，
所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接受完服务才离去
。例如出故障的机器排队等待维修就是这种情况。
（iii）混合制。介于损失制和等待制之间的是混合制，即既有等待又有损失。
有队列长度有限和排队等待时间有限两种情况
，在限度以内就排队等待，超过一定限度就离去。
3）服务过程
（i）服务机构。主要有以下几种类型：
单服务台
；
多服务台并联
（每个服务台
同时
为
不同顾客
服务）；
多服务台串联
（多服务台
依次
为
同一顾客
服务）；混合型。
（ii）服务规则。按为顾客服务的次序采用以下几种规则：
①
先到先服务
，这是通常的情形。
②
后到先服务
，如情报系统中，最后到的情报信息往往最有价值，因而常被优先处理。
③
随机服务
，服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务，而不管到达的先后。
④
优先服务
，如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗。
4.排队模型的符号表示
排队模型用六个符号表示，在符号之间用斜线隔开，即 X/Y/Z/A/B/C。
X：表示
顾客到达流
或
顾客到达间隔时间
的分布
Y：表示
服务时间
的分布
Z：服务台数目
A 是系统容量限制
B 是顾客源数目
C 是服务规则，eg：先到先服务 FCFS，后到先服务 LCFS 等
注意：
并约定，如略去后三项
，即指 X/ Y/Z/ ∞/∞ / FCFS 的情形。
我们只讨论先到先服务 FCFS的情形
，所以略去第六项。
表示
顾客到达间隔时间
和
服务时间的分布
的约定符号为：
M —指数分布（ M 是 Markov 的字头，因为
指数分布具有无记忆性
，即 Markov性）；
D —确定型（Deterministic）；
— k 阶爱尔朗(Erlang)分布；
G —一般（general）服务时间的分布；
GI —一般相互独立（General Independent）的时间间隔的分布。
具体例子：
M/M/1
表示
顾客相继到达间隔时间
为指数分布、服务时间为指数分布、单服台、等待制系统。
D/M/C
表示确定的到达时间、服务时间为指数分布、 c 个平行服务台（但顾客是一队）的模型。
5.排队系统的运行指标
为了研究
排队系统运行的效率
，
估计其服务质量
，
确定系统的最优参数
，
评价系统的结构是否合理
并研究其改进的措施，必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，
这些数量指标通常是：
(i) 平均队长：指
系统内顾客数
（包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客）的数学期望，记作
(ii) 平均排队长:指系统内
等待服务的顾客数
的数学期望，记作
(iii) 平均逗留时间：顾客在
系统内逗留时间
（包括排队等待的时间和接受服务的时间）的数学期望，记作
（iv） 平均等待时间：指一个顾客在排队系统中
排队等待时间
的数学期望，记作
（v） 平均忙期：指
服务机构连续繁忙时间
（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望，记为
还有由于顾客被拒绝而使企业受到损失的 损失率以及以后经常遇到的服务强度等，这些都是很重要的指标
。
计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓
系统的状态即指系统中顾客数，
如果系统中有
n 个顾客就说系统的状态是 n
，它的可能值是
（i）队长没有限制时，n= 0，1，2。。
（ii）队长有限制，最大数为 N 时，n=0，1，2，。。。N
（iii）损失制，服务台个数是 c 时，n=0，1，。。。。c
这些
状态的概率
一般是随时刻 t 而变化，所以
在时刻 t 、系统状态为 n 的概率
用
表示。
稳态时系统状态
为 n 的概率用
表示。
二、输入过程与服务时间的分布
排队系统中的事件流包括顾客到达流和服务时间流。由于顾客到达的间隔时间和服务时间不可能是负值，因此，它的分布是非负随机变量的分布。
最常用的分布有泊松分布、确定型分布，指数分布和爱尔朗分布
。
1）泊松流与指数分布
输入过程：
当输入过程是泊松流时，那么
顾客相继到达的时间间隔 T
必服从指数分布。
对于泊松流,
λ
表示
单位时间平均到达的顾客数
1/ λ
表示
相继顾客到达平均间隔时间
服务过程：
对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从指数分布。
这时设它的分布函数和密度函数分别是
μ
表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为
平均服务率
1/μ
表示一个顾客的平均服务时间
2）常用的连续型概率分布
（i）均匀分布
（ii）正态分布
（iii）指数分布：指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量
（iv）Gamma 分布：又称爱尔朗分布。Gamma 分布可用于服务时间，零件寿命等。
（v）Weibull 分布：作为设备、零件的寿命分布在可靠性分析中有着非常广泛的应用。
（vi）Beta 分布
3）常用的离散型概率分布
（i）离散均匀分布
（ii）Bernoulli 分布（两点分布），用于基本的离散模型
（iii）泊松（Poisson）分布：泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数 λ 的到达间隔服从指数分布时，单位时间内到达的顾客数 K 服从泊松分布，即单位时间内到达 k 位顾客的概率为
记作 ( Poisson λ ）。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等领域都有广泛应用。
（iv）二项分布
三、生灭过程
在排队论中，如果N (t)表示时刻 t 系统中的顾客数，则 {N(t),t>=0} 就构成了一个随机过程，就是一类特殊的随机过程－生灭过程（生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的离去）。
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状态 n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而到达平衡状态后，
对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等
，这就是
系统在统计平衡下的“流入＝流出”原理
。
如何求平稳分布？
假设已经得到了平稳状态分布，如下所示
更重要的是：
才能由上述公式得到平稳状态的概率分布
四、M/M/s等待制排队模型
1）单服务台模型M /M/1/∞ （因为服务台只有一个，要立马进行排队，注意求和的上下标）
单服务台等待制模型 M /M/1/∞ 是指：
顾客的相继到达时间
服从参数为 λ 的负指数分布，
服务台个数
为 1，
服务时间 V
服从参数为 μ 的负指数分布，
系统空间无限，允许无限排队
，这是一类最简单的排队系统。
需要掌握的有：队长的分布，平均队长、平均排队长以及
平均队长与平均逗留时间的关系
，
平均排队长与平均等待时间
的关系（
Little公式
）
要知道：顾客在系统中的
逗留时间
为
等待时间
和
接受服务时间
V 之和，具体的推倒过程，我直接放图了
具体的一个eg:
2)多服务台模型M/M/S/∞（因为服务台有s个，所以当n>=s个的时候，才需要排队，注意求和的上下标）
设
顾客单个到达
，
相继到达时间间隔服
从参数为λ 的负指数分布，
系统中共有 s 个服务台
，
每个服务台的服务时间相互独立
，
且服从参数为 μ 的负指数分布
。当顾客到达时， 若有空闲的服务台则马上接受服务， 否则便排成一个队列等待， 等待时间为无限。
3)M / M / s / s 损失制排队模型
当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。
4)M / M / s 混合制排队模型
i)单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待
eg：一看就懂的例子
多服务台混合制模型（重点关注一下）
多服务台混合制模型 M / M / s / K 是指顾客的相继到达时间服从参数为 λ 的负指数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K 。
其它排队模型
1）有限源排队模型
2）服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员
的服务率当顾客较多时也可能会提高。
