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Lebesgue可测与Borel可测？
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谢邀：简单的回答：不是。 根据（Rudin的书）定义， 一个Borel测度 (\mu,B) 中的 \sigma- 代数 B 是包含全部开集的最小的 \sigma- 代数：也就是Borel集。这里 B 必须是刚刚好的Borel集。 而Lebesgue测度则是一个 包含了borel集合的“完备”测度 。本质上，任何一个Lebesgue可测集合 E 都可以表示成一个Borel集合和一个0测度集合（两者不相交）的并集，或者一个Borel集合减去一个0测度集合。这就是测度的正则性。也就是说，它是一个Borel测度的“完备化”，由于 \mathbb{R^n} 上的Borel测度不是完备的，自然包含了一些非Borel集。我们可以写成 \overline{\mu}=m 。值得一提的是， m_{\mathbb{R}^2}\neq m_{\mathbb{R}}\times m_{\mathbb{R}} 而是它们的完备化。这个错误也是初学者容易搞糊涂的，也就是高维的Lebesgue测度不是低维度的Lebesgue测度的积。
下面是复杂的回答了：
回到周民强的书，他的确说了这样一句话：
这句话就很有意思了，我们必须回到一个很傻逼的问题上： 什么是测度？不同的书的逻辑不一样的，我们来看看：
rudin的书上测度的定义是这样的：
记住一个简单的事情： 函数是必须先有定义域，定义域不同，那么函数就是不同的 。所以，必须现有 \sigma -代数才能定义测度（在rudin的逻辑下，这个定义和逻辑也是国际通用的）。然后rudin的书上Lebesgue measure一开始就不是定义在borel上的。
让我们看看Evans： 它的测度其实就是周的外测度，简单粗暴。
周的定义呢？最模糊的就是他了
他的lebesgue测度定义是依赖于外测度的。对 于一般的测度看起来也没问题：
但是，这个定义给人一种测度是独立于“定义域”的感觉。不过按照这个定义，lebesgue测度也不该是borel测度，因为前者的定义域比后者大。当然了，作者也可能是这个意思： 我们把勒贝格测度限制到borel集合上，它是一个borel测度。 这个回答是最精确的。
Borel可测集是由所有开集生成的最小 \sigma 代数，Lebesgue可测集是它的完备，也就是由所有开集和零测集生成的 \sigma 代数，所以所有Borel可测集都包含在Lebesgue可测集中。
" R^n 上的Lebesgue测度是一种Borel测度"，先看Borel测度的定义：任何定义在Borel集上的测度都是Borel测度。再来看Lebesgue测度的定义方式，它由一个outer measure也就是外测度 m^{*} 定义，以"长度"作为度量。那么作用在Lebesgue可测集上的Lebesgue测度也必然作用在其内的Borel集上，是以"长度"为度量的一种Borel测度。
那么，还有一句话，"Lebesgue测度是Borel测度的完备"，这看起来和上面的结论相悖，但实际上此时应该对两种可测集统一为"长度"为度量标准再说这句话。假设 A\in \mathcal{B} ， B\in \mathcal{L} ，零测集 N\in \mathcal{N} ，若有 B=A\cup N ， \mu 是作用在 \mathcal{B} 上的测度，那么如果 \bar{\mu}(B)=\mu(A) 就认为 \bar{\mu} 是 \mu 的完备测度，显然只有统一度量标准才能谈完备。