什么是数学证明

以勾股定理为例，欧几里得几何原本（成书于公元前300年）有一个严格的证明，但巴比伦人在公元前19世纪就已知道了勾股数（3，4，5），中国古代算学利用面积拼凑法，画了几个图让大家看，就算是证明了。因此，勾股定理的知识，并不始于欧几里得的证明，也不终于欧几里得的证明。先有内容，而且人们相信它，后来才有证明。因此，数学的原动力是想象而不是证明。

证明就是根据一些已经确定真实性的命题来断定某一个命题的真实性的思维过程。它是由论题、论据和论证方式三个要素构成。 论题就是需要确定其真实性的命题 论据就是用来确立论题真实性所引用的那些已知真实的命题； 论证就是根据论据进行一系列推理而确立论题真实性的过程。

人们既然相信已找到的数学规律，获得了支持它的证据，为什么还要证明？在这一点上，数学家有自己的追求，别的科学家并不要求严格证明，印度数学家哈里什-钱德拉（Harish-Chandra）曾在大物理学家狄拉克（Dirac）那里做助手，有一次他对狄拉克说，我很苦恼，因为我已找到了问题的答案，却没法证明它。狄拉克的回答是：“我不管什么证明，我只想知道真相！”

让我们再来看数学家是怎样来证明的。英国数学家哈代（Hardy）在1929年写的一篇论文《数学证明》中说道：“严格说来，没有所谓证明这个东西，归根结蒂，我们只能指指点点。”这句话的意思是，数学证明并不是完全形式化的三段论式的推理，数学家不过是指指点点，指手画脚，使读者和听众信服。讲解证明的是人，理解证明的也是人。难怪苏联数学家曼宁（Manin）说：“一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会活动后，它才算证明。”

当然，我们可能会问，数学家何必指指点点？老老实实从公理、定理、定义出发进行逻辑推理岂不好？但这做不到。波兰数学家史坦因豪斯（Steinhauss）的一个学生从希尔伯特的几何公理系统出发，证明勾股定理，写下来竟有80页，更令人吃惊的是，如果罗素和怀特黑（A.N.Whitehead）在1910－1913年出版的《数学原理》，从最初的集合概念开始，证明1＋1＝2足足用了300页，这样的证明，谁愿意读？

计算机辅助证明。我国吴文俊教授给出的机器证明在世界上处于领先的地位，但基本上只能证明初等几何的所有定理，离证明全部数学还远得很。1976年，四色定理的首个证明是一个经典的计算机辅助证明的例子。不少数学家对于计算机证明持谨慎态度，因为很多证明太长，不能由人手直接验证。此外，算法上的错误，输入时的失误甚至计算机运行期间出现的错误都有可能导致错误的结果。

说到这里，似乎都是有关数学证明的“坏话”，那么数学证明的价值何在？首先，数学证明有助于核实真理。数学家的指指点点，是比较严格的，比较符合逻辑的。因而比较可信。其次，数学证明最重要的价值是增进理解，只有弄懂了一个定理的证明，才能真正理解该定理的内容。

对中学数学教育来说，有几点流行的看法需要纠正。中学数学是绝对严格的，中学数学建筑在严格的逻辑推导之上。数学思维能力的核心是逻辑思维能力。真实的情况是，中学数学内容不可能做到绝对严格。中学数学的证明也是“指指点点”，并非三段论式的逻辑演绎。中学数学固然能培养逻辑思维能力，但更重要的是培养学生观察、分析和解决问题的数学观念、数学意识和数学方法。

数学是形式化的思想材料，数学家讲究严密的形式推理，但是学生并不全做数学家，学习数学应该做到适度的非形式化。数学的严谨性是相对，绝对严格是做不到的，单纯提倡数学严谨性，只会束缚学生的数学直觉和数学想象。

数学证明与其他学科的证实有本质不同，它具有更多的形式化特点，更接近于形式逻辑，有更强的可靠性，因而应该让中学生懂得数学证明的价值，并能适度运用。但是，如果我们贬低其他学科的论证，认为都不严格，都不可靠，惟数学独尊，那是害了学生。连物理学家都说“我只需要真相，不需要什么证明”，何况其他人？我们的学生毕竟将来绝大多数不是数学家，他们的生活天地中，数学只是很小的一个侧面，让一个人按照数学证明的方式行事，那会是何等的荒唐可笑。

常见的证明方法

直接证明法是指从公认的事实或者公理出发，运用逻辑推演而导出需要证明的命题的真伪的方法。

思考过程：“ 由因导果 ”的思考，就是由已知出发，逐步推演寻找它的必要条件，直到得出结论为止。但在一定条件下，由已知公理、定理等推出的结论较多，从中寻找欲证结论，有时好像大海捞针，容易误入歧途。因此，一般采用“ 执果索因 ”思考顺序分析思考，即由未知的待证结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到追溯到的充分条件是已知为止。在证明过程中还可以常采用“ 两头凑 ”，即同时从已知和结论出发，逐步分别进行推理和追溯，直到推得的中间结论与追溯的条件相同时为止。这样往往容易获得证明思路。然受采用“由因导果”顺序写出证明过程。

比如说要证明命题：“任何奇数乘以另一个奇数仍然是奇数”，可以直接证明如下：

任何奇数都可以写成 的形式，其中 是 整数 。任取两个奇数，都可以写作 和 ，其中 和 是整数。它们的乘积为 。所有能写成整数的两倍加1的数都是奇数。 是整数，所以 是奇数。证明完毕。

构造法一般用于证明存在性定理，运用构造法的证明称为构造性证明。具体做法是构造一个带有命题里所要求的特定性质的实例，以显示具有该性质的物体或概念的存在性。也可以构造一个反例，来证明命题是错误的。

例如证明命题“2的质数次幂减一后不总是质数”，便可用构造法：

只需证明存在某个质数 ，使得2的 次幂减一后不是质数。为此，考察质数11。2的 次幂减一等于 。 不是质数。因此命题得证。

非构造性证明

与构造法证明相对的是非构造性证明，即不给出具体的构造而证明命题所要求对象的存在性的证明方法。比如下面例子：

命题：存在两个 无理数 和 ，使得 是 有理数 。

证明：考虑 ，若它是有理数，则命题得证。若 不是有理数，则一定是无理数。考虑它的 次幂：

为有理数，命题仍然正确。

于是无论如何，都存在满足命题要求的无理数。

在这个证明里并没有给出使得 是 有理数 的两个具体的无理数

穷举法是一种列举出命题所包含的所有情况从而证明命题的方法。显然，使用穷举法的条件是命题所包含的可能情况为有限种，否则无法一一罗列。

例如证明“所有两位数中只有25和76的平方是以自己作为尾数”，只需计算所有两位数：10至99的平方，一一验证即可。

在谓词逻辑里，若同时否定一个命题的主词和谓词，则其结果称为原命题的换质。若交换主词和谓词的位置，则其结果被称作换位。先换质再换位则被称为换质位，同理先换位再换质则被称为换位质。例如“所有的S是P”的换质位是“所有的不是P的不是S”。换质位法是指利用换质或换位，将一个命题改为一个与其逻辑等价的命题，因此只要证明了后者就证明了原来的命题。例如，要证明鸽笼原理：“如果n个鸽笼里装有多于n只鸽子，那么至少有一个笼子里有两只鸽子”，可以转证与其等价的逆否命题：“如果n个鸽笼的每一个中至多装有一只鸽子，那么n个鸽笼里至多装有n只鸽子”。而后者是显然的。

个案分析或分类讨论

个案分析或分类讨论，是指将结论分成有限的个案，然后逐个证明的方法。

算两次是一种对同一个量进行两种虽不同但都正确的分析，得到两个虽不同但相等的表达式的方法，常用于证明恒等式。

当直接证明一个数学命题有困难时，可以使用间接证法。

间接证法就是不直接证明原命题为真，而去证明与之逻辑等价的另一个命题为真，由等价性间接地证明了原命题为真的方法。

我们这里介绍间接证法中的反证法和同一法。

反证法是一种古老的证明方法，其思想为：欲证明某命题是假命题，则反过来假设该命题为真。在这种情况下，若能通过正确有效的推理导致逻辑上的矛盾（如导出该命题自身为假，于是陷入命题既真且假的矛盾），又或者与某个事实或公理相悖，则能证明原来的命题为假。无矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础。反证法的好处是在反过来假设该命题为真的同时，等于多了一个已知条件，这样对题目的证明常有帮助。

反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

例子：证明根号2是无理数

假设 是有理数，即​​​​​​​​​​​​​​ ，其中p和q是互素的整数，于是p=q

两边平方得：

于是 是一个整数的2倍，所以 必须是偶数，从而a也必须是偶数。令p=2r，这时上面最后一个等式就变成

由此可知，​​​​​​​ 是偶数，从而p与q均为偶数，这与我们的假设p与q互素相矛盾。因此 是有理数的假设不成立，也就是说 是无理数。

通过证明原命题的逆命题而间接证明原命题的方法，叫做同一法。

同一法是通过证明它的逆命题成立，来证明原命题成立。不是所有的命题当其逆命题成立时，其原命题都成立，它必需要满足一定的条件，这个条件就是同一法则。同一法则是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。

如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，

互逆两个命题一般是不等价的。例如

原命题：福建是中国的一个省　（真命题）

逆命题：中国的一个省是福建　（假命题）

但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如

原命题：中国的首都是北京　（真命题）

逆命题：北京是中国的首都　（真命题）

因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如

原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）

逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）

因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。

​​​​​​​ 数学归纳法

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法（一般归纳法）。完全归纳法：如穷举法和数学归纳法。

数学归纳法与一般归纳法虽然都含有归纳二字，但其涵义有所不同。数学归纳法是严谨的归纳，是一种证明方法，而一般归纳法是一种猜想，从特殊到一般，由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，不一定正确。

数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题，或者可数无穷个命题的技巧。欲证明以自然数n编号的一串命题，先证明命题1成立，并证明当命题n成立时命题n+1也成立，则对所有的命题都成立。在皮亚诺公理系统中，自然数集合的公理化定义就包括了数学归纳法。数学归纳法有不少变体，比如从0以外的自然数开始归纳，证明当命题对小于等于n的自然数成立时命题n+1也成立，反向归纳法，递降归纳法等等。广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如集合论中的树。另外，超限归纳法提供了一种处理：可数无穷个命题的技巧，是数学归纳法的推广。

数学归纳法属于完全严谨的演绎推理法。

最简单和常见的数学归纳法是证明当 n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

1.证明当 n = 1 时命题成立。

2.证明如果在 n = m 时命题成立，那么可以推导出在 n = m+1 时命题也成立。（m 代表任意自然数）

证明下面这个公式（命题）：

其中 n 为任意自然数。这是用于计算前 n 个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。

第一步是验证这个公式在 n = 1 时成立。我们有左边 = 1 ，而右边 = 1 ( 1 + 1 ) / 2 = 1 ，所以这个公式在 n = 1 时成立。第一步完成。

第二步我们需要证明如果 假设 n = m 时公式成立，那么可以 推导 出 n = m +1 时公式也成立。证明步骤如下。

我们先假设 n = m 时公式成立。即

（等式 1）

然后在等式等号两边分别加上 m + 1 得到

（等式 2）

这就是 n = m +1 时的等式。我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。

通过因式分解合并，等式 2 的右手边

这样便证明了从 P( m ) 成立可以推导出 P( m +1) 也成立。证明至此完成，结论：对于任意自然数 n ，P( n ) 均成立。

直观证明或可视化证明

是指用图像或表格等直观的手段证明命题的方法。

例、在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。

上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。

计算机辅助证明

为计算而发明的计算机，能够证明几何定理么？中国数学家在上个世纪80年代提出的例证法算是一种,因为计算量很大，大多数情况只能借助计算机来完成。除此之外，还有别的什么方法吗？答案是肯定的。用机器证明的数学定理中，最为人津津乐道的当属四色定理。1976年，四色定理的首个证明是一个经典的计算机辅助证明的例子。