0到正无穷 关于e的负x的平方的定积分计算

. \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx

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3月13日更

首先在我们了解一下那些我们 常见有原函数，但求不出初等函数形式的原函数 （用宇哥的话讲可以是一个人有爸，但是他的爸在天上）

\int \frac{sinx}{x}dx \int \frac{cosx}{x}dx \int \frac{tanx}{x}dx

\int\frac{e^{x}}{x}dx \int e^{ax^2+bx+c} （\int e^{x^2}or\int e^{-x^2})

\int sinx^2dx \int cosx^2dx \int tanx^2dx

\int \frac{dx}{lnx}

\int sin\frac{1}{x}dx \int cos\frac{1}{x}dx

(基本上就这些了)

题：\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=?

别看这就是一道简单的积分题，其实还真不好做，无数学概率论的学生回来看这个。

接下来就展示一下二重积分的做法（可以说是布达鸟啦）

设原式为 I

那么我就写两个 I 相乘，构造一个二重积分。

I^2=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx\cdot\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx

(后一个积分与字母无关，那我干脆把后一个x全变成y)

=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy

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这一看还了得，有我们的老朋友呀 （x^2+y^2） ,立即推想到极坐标系下二重积分；

记口诀：

后积先定限

限内画条线

先交写下限

后交写上限

=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}dr =\frac{\pi}{4}

立即可以得到 \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} (此结论建议记住)

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3月20日更—————————————————-

关于这个函数，其中最开始见它是在反常积分那一节，我和们学习过 反常和分的重要函数：