简单易懂的非标准分析（前言）

序言

新建了一个非标准分析话题以后里面空荡荡的，于是打算重写一篇非标准分析入门。这次的目的是尽可能地让过程简单易懂，仅假定基础的集合知识。

标准分析与非标准分析

标准分析指的是使用 \epsilon - \delta 语言建立的基于极限体系的分析学，而非标准分析则在引入 实无穷小 和 外谓词 \approx （约等号）的基础上发展出了一套独特的分析语言。

以计算 f(x)=x^2 在 x=2 处的导数为例。标准分析采用的方法是
f'(2)=\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4 .

而非标准分析则令 \eta 是实无穷小，并计算得到
\frac{f(2+\eta)-f(2)}{\eta}=4+\eta\approx 4
由此得出 f'(2)=4 .

这一分析方法与牛顿起初发明的求导方法如出一辙，但是直到数学界掌握了足够强力的逻辑工具后才最终得以严格化，在此之前始终是简洁明了的柯西极限占据了主流。不过非标准分析并不止于复古，由于它的构建过程中内涵了复杂的网与滤子理论，所以在拓扑与泛函分析等领域中表现出了强大的简洁性。

非标准分析理论的构建

非标准分析的目标是在不破坏实数结构的条件下向实数域中添加无穷大与无穷小元。

我读过的唯一一本非标准分析是Martin Davis的。但是这本书中用了构造性的方法来建立非标准域，使得第一章节枯燥而晦涩，并且在后续使用上也有些不便。我打算换一种非构造性的方法来简化这一过程。

为了完成这一简化，需要用到的核心定理是一阶逻辑的紧致性定理：

（紧致性定理）一个一阶句子的集合有模型，当且仅当它的任意有穷子集有模型。

证明紧致性定理的一个捷径是使用哥德尔完全性定理：

（哥德尔完全性定理）一个一阶句子的集合是无矛盾的，当且仅当它拥有模型。

注意到，假设一个一阶句子的集合蕴含 矛盾 ，那么一定存在一个有限长度的 证明 ，它证明了 矛盾 。而这个 证明 所使用的一阶句子至多有有限个，因此这些语句构成了一个蕴含矛盾的有穷语句集。

对此代入哥德尔完全性定理，则可知，如果一个一阶句子的集合 没有模型 ，那么一定存在某个它的有穷子集，这个有穷子集 没有模型 。反之，如果这个一阶句子的集合的任意有穷子集有模型，那么它也必然有模型。

通过使用紧致性定理，我们就可以非构造性地得到一个拥有 无穷大 的自然数模型。假如说我们已经有了一个一阶的自然数理论，而 \{0,1,2,...\} 是满足自然数理论的一个模型，那么接下来我们就可以向这个一阶理论中添加一个新的常量符号 \mathbf a 以及无穷条公理：

\mathbf{0}\mathbf <\mathbf{a}
\mathbf{1}\mathbf <\mathbf{ a}
\mathbf{2}\mathbf <\mathbf{a}
...

这个新的理论必然是无矛盾的，因为对于任意有限条语句，例如

\mathbf{0}\mathbf <\mathbf{a}
\mathbf{1}\mathbf <\mathbf{ a}
...
\mathbf{n}\mathbf <\mathbf{a}

只需将 \mathbf{a} 解释为 \mathbf{n+1} ，即得到了这个理论在模型 \{0,1,2,...\}=\mathbb N 上的解释。这说明了上述一阶语句集的任意有穷子集拥有模型，从而根据紧致性定理，扩充后的一阶语句集拥有模型。

记这个新的模型为 \mathbb N^* . 对于每个固有的常量符号 \mathbf{0},\mathbf1,\mathbf 2,... ，它们分别在 \mathbb N^* 内被解释为了 x_0,x_1,x_2,... ，于是 x_j\in \mathbb N^* 与 j\in \mathbb N 经由常量符号恰好形成了一一对应关系，所以不妨记作 x_j=j^* ，则不妨记作 \{0^*,1^*,2^*,...\}\subseteq \mathbb N^* .

然而，常量符号 \mathbf {a} 在 \mathbb N^* 也必须得到解释。假设它的解释是 \alpha\in\mathbb N^* ，那么根据命题 \mathbf{n<a} ，我们有 n^*<\alpha 对所有 n\in\mathbb N 成立。这在某种意义上，意味着我们在 \mathbb N^* 内得到了一个实无穷 \alpha ，因为如果我们从 0^* 开始一个一个向后数，我们将永远也无法数到 \alpha .

需要注意的是，之所以我们要大费周章使用紧致性定理，而不直接构造集合 \mathbb N^* ，是因为否则将难以确保新的 \mathbb N^* 仍然具有自然数集的性质。如果我们这么做，则很难通过构造性的方法添加足够多的元素，并定义它们之间彼此的关系，使得数学归纳法仍然在 \mathbb N^* 中成立。

目录

第零节-语言与模型
语言
项与公式
命题，公理，与理论
理论的模型
命题的真假与哥德尔完全性定理（不含证明）
第一节-非标准域的构造
符号集与内公式集的构造
非标准域的构造
非标准域的性质
具体的应用方法
第二节-超实数理论
实数列与极限
极限的性质
第三节-实数函数
函数的连续性
无穷小域上的函数与微分
闭区间上连续函数的定积分
第四节-基础拓扑
拓扑空间
近点，远点，紧致性
拓扑空间之间映射的连续性
直积拓扑
第五节-拓扑向量空间（预定）