测度论整理（一）
出于对自己自学能力的不自信，本科的最后一个学期还是没有选修一些更高阶的课程，感觉巩固一下测度论的基础会是一个更加好的选择233。但是我还欠着很多点集拓扑的内容没有更新完，而且这个学期需要做各种出国的准备，处理毕业论文的事宜，故肯定是来不及详细写下来了。所以我准备挑选一些关键性的概念、思想，或是一些有意义的证明技巧记录一下。各位如果有实变的基础，应该能够大致地看懂在干什么。当然如果之前没有接触过类似内容的话可能就不用仔细阅读了。
整理基于我对北大的 《测度论与概率论基础》 的学习。书籍pdf的网盘链接我都贴在了目录中“资源获取”的那篇文章中。各位若有需求可以自取。
在测度论学习的过程中，我们经常能够看到实变和概率的影子。故我也尽可能将它们结合在一起说说。
给定一个集合 X （概率中的 样本空间 ）。测度论的目的是建立测度来测量这个集合的各个子集（概率中的 事件 ）的大小（事件发生的 概率 ）。当然，测度论本身并不局限于概率。概率测度是满足完全性（ X 的测度为1）的特殊的测度。
在概率论中，我们已经接触到了概率的公理化定义。具体地说，其由概率空间 (\Omega,\mathscr{F},P) 表示。其中 X 就是作为样本空间 \Omega 的推广的， P 是个概率测度，将 \mathscr{F} 中的事件映射到 [0,1] 中。由此不难发现：要研究测度，我们要先将 集合系 ， 测度 这个函数的 定义域 研究清楚（在概率中，这指的是事件域 \mathscr{F} ）。
X 的若干个子集组成的集合称为其 集合系 。我们知道概率空间中的事件域本身是有一些很好的性质的，故我们也从一些具有好的性质的集合系入手研究。
简单地归纳一下各类 集合系之间的关系 ：
\pi 系（有限交封闭） \leftarrow 半环（有限交封闭，且两个有包含关系的集合之差可以分解为有限个半环中不交元素并） \leftarrow 环 （有限并、有限差封闭） \leftarrow 域（有限交、补封闭） \leftarrow \sigma 域
单调系（单调集合列极限封闭） \leftarrow \lambda 系（含全集，有限差封闭，单调增集合列极限封闭） \leftarrow \sigma 域
\sigma 域 是具有很好性质的集合系（包含全集，补运算封闭，可列并封闭），事实上，其与概率中事件域的定义如出一辙。但是，正因为其有好的性质，我们很难直接地构造出一个 \sigma 域，故更多时候我们用更简单的集合系来 生成 \sigma 域。
集合系生成的 \sigma 域（环或单调系或 \lambda 系）指的是包含原本集合系的 极小的 \sigma 域（环或单调系或 \lambda 系）。
关于“生成”，我们通常不方便给出一个对生成集合系中元素的具体描述。但是由半环生成的环的结构我们是清楚的。半环比起环只差了一点：我们只能保持两个元素之差可以进行有限不交并分解，但是并不能保证其落在半环中。那么我们只需要把 所有能写成有限不交并形式的集合 添加进半环，他就是个环了！
即： r(\mathscr{L})=\bigcup _{n\in\mathbb{N}} \left \{ \bigcup _{k=1}^n A_k|A_k\in \mathscr{L},两两不交\right \}
关于这些集合系，值得一提的有如下几点：
为单调系的域必为 \sigma 域。这导致了： 域生成的 \sigma 域等于其生成的单调系 。
为 \lambda 系的 \pi 系必为 \sigma 域。这导致了： \pi 系生成的 \sigma 域等于其生成的 \lambda 系 。（ \pi-\lambda 定理 ）
容易注意到：半环必定包含 \varnothing 为其元素（考虑 A-A=\varnothing 可以写成有限不交并），域必定包含全集 X 为其元素。
一个在概率论中常用的证明技巧是：将一列集合 A_1,A_2,... 进行不交分解，即令 B_1=A_1,B_2=A_2-A_1,...,B_n=A_n-A_{n-1}-...-A_1,...
这样保证了 B_n 为不交集合列的同时保证了 \bigcup_{n=1}^\infty A_n=\bigcup_{n=1}^\infty B_n 。那么很自然地，我们发问： 在什么样的集合系上我们可以做这样的不交分解呢？
我们的一个平凡的回答是在环上可以进行这样的不交分解（因为有限并、有限差封闭）。但是不那么平凡地， 在半环上 我们也可以进行。
这需要我们注意到若 A_n 均在半环中，则所有 A_n\in r(\mathscr{L}) （在半环生成的环中）。这样就能保证上述所有 B_n\in r(\mathscr{L}) 。从而 每个 B_n 都能被写成有限个 \mathscr{L} 中不交元素之并 。这是一个很常用的结论！从半环过渡到其生成的环上再回到半环中的思想也十分巧妙。
在测度论中，当我们要证明的结论与“生成”这个概念相关时，我们用“ 整体”的思想 看待问题会使证明容易很多！
例如：
如果我们想要证明 m(\mathscr{A}) 是关于有限并、有限差封闭的。我们不必真的去取任意两个 m(\mathscr{A}) 中元素来证明，这是“个体”的思想，处理生成的概念时往往麻烦。
我们可以转化为：任意取定 B\in m(\mathscr{A}) ，考虑集合 \mathscr{H}_B=\left \{ \ A|A, A\cup B,A-B\in m(\mathscr{A}) \right \} 。问题转化为：证明 m(\mathscr{A})\subset \mathscr{H}_B 。
注意到“生成”的极小性，我们只需要证明 \mathscr{H}_B 为包含 \mathscr{A} 的单调系即可。（由原集合系生成的单调系不可能超过一个原来就包含这个集合系的单调系！）
通过从“整体”的概念入手，把所有与 B 之间具有好性质的 A 收集起来，我们成功利用生成的极小性，简化了证明！
关于集合系，值得讲的东西其实不多。最后，我们说说实数域上的Borel集。
假定 \mathscr{P}_R 表示所有 (-\infty,a] 的区间组成的集合（为 \pi 系）， \mathscr{L}_R 表示所有 (a,b] 的区间组成的集合（为半环）， \mathscr{O}_R 表示所有实数域上开集组成的集合， \mathscr{A}_R 表示所有 (a,b) 的区间组成的集合。
则 这四个集合生成的 \sigma 域是完全相同的！ 都是实数域上的Borel域 \mathscr{B}_R ，其中元素为Borel集。
这是由于 (-\infty,a] 均为闭集，故 \sigma(\mathscr{O}_R) 必定包含 \sigma(\mathscr{P}_R) 。（因为 \mathscr{O}_R 含所有开集，开集的补即为闭集，而 \mathscr{P}_R 仅包含了一部分的闭集！）
利用实数域上开集都能分解为至多可列个不交开区间之并，立马得到 \sigma(\mathscr{A}_R) 必定包含 \sigma(\mathscr{O}_R) 。
又注意到任意两个 \mathscr{P}_R 中元素之差均为 \mathscr{L}_R 中元素，故立马得到 \sigma(\mathscr{P}_R) 必定包含 \sigma(\mathscr{L}_R) 。
考虑到所有开区间都是开集，故 \sigma(\mathscr{O}_R) 必定包含 \sigma(\mathscr{A}_R) 。
注意到 (-\infty,a]=\bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,a] ，故 \sigma(\mathscr{L}_R) 必定包含 \sigma(\mathscr{P}_R) 。
注意到 (a,b)=\bigcup_{n=1}^{+\infty}(a,b-\frac{1}{n}] ，故 \sigma(\mathscr{L}_R) 必定包含 \sigma(\mathscr{A}_R) 。
得证！
我们之后主要关心在 \sigma 域如何建立测度。故若 \mathscr{B} 为 \sigma 域，记 (X,\mathscr{B}) 为 可测空间 。特别地，若 \mathscr{B} 为所有 X 的开集生成的 \sigma 域，记 (X,\mathscr{B}) 为 拓扑可测空间。
下次我将简述一下测度的构造以及测度函数的一些有趣的性质。
