什么是分数量子霍尔效应？

关于整数量子霍尔效应的故事大家都很清楚了，加磁场的二维电子气会出现横向电阻的整数平台，这些平台对应了费米面下填充的朗道能级数目，所以是量子化的。

那么当磁场进一步的增大的时候，会出现什么样的现象呢？

如上图所示，纵向电阻会在一些分数的地方产生平台，我们会发现这些平台的填充数基本都是分母为奇数的分数，比较显眼的是 1/3,1/5,1/7 等等分母为奇数然后分之一的分数（当然也有 1/2 ）。解释这些平台的理论是花样繁多的，但是有一点是我们的共识，那就是与整数情况不同，那里我们将电子视为相互之间没有作用的自由电子，在分数量子霍尔效应中电子之间的相互作用不能被忽视。这里我们简单采用 Chern-Simons 理论稍微解释一下为啥这里填充数是类似 \frac{1}{奇数} 的形式。

一、任意子和规范场通量

在开始之前，需要对研究对象进行一点点说明。大家对玻色子和费米子都是比较熟悉的，它们的一个重要区别在于“交换”，前者波函数交换不变号，后者多一个负号。然而在二维情况下还可能存在任意子，在相互交换之后波函数会多出来一个 \exp(i \eta \pi) ，这里 \eta 对于玻色子是 2n ，对于费米子是 2n+1 。我们知道，所谓的“交换”也可以看成一个绕着另一个转半圈。假设在一个规范场里面，一个电荷为 q 的粒子绕着一个轨道绕了一圈，那么它的波函数会多一个相位，即多一个 \exp(iq\Phi) ，其中 \Phi 为规范通量。现在假设两个任意子交换了位置，然后再交换位置，那么会得到一个相位 \exp(2i \eta \pi)=\exp(iq\Phi) ，所以有

2\pi \eta =q\Phi

现在我们的任务就是看看电荷和规范场通量之间的关系就好了。

二、Chern-Simons 拉格朗日量

首先我们观察一下 Chern-Simons 项

L=-\frac{1}{2}k\varepsilon^{\mu \nu \lambda}a_\mu \partial_\nu a_\lambda

简单计算会发现它是 U(1) 规范场， a_\mu 是规范场矢势，但是其自身没有动力学的，我们需要注入一个电流来驱动

L=-\frac{1}{2}k\varepsilon^{\mu \nu \lambda}a_\mu \partial_\nu a_\lambda+a_\mu J^\mu

可以得到运动方程

J^\mu=k \varepsilon^{\mu \nu \lambda} \partial_\nu a_\lambda

这里我们明白了，CS场对其中流动的流是有一个约束的，由这个约束我们可以计算电荷和规范场通量之间的关系了：

\rho=-kb,q=-k\Phi

带回去，得到任意子相位

\eta=-\frac{q^2}{2\pi k}

现在把电磁场加入进来：

L=-\frac{1}{2}\frac{s}{2\pi}\varepsilon^{\mu \nu \lambda}a_\mu \partial_\nu a_\lambda+\frac{e}{2\pi}\varepsilon^{\mu \nu \lambda}A_\mu \partial_\nu a_\lambda+j^\mu a_\mu

第一项是 Chern-Simons 项，其给出电流，第二项是电磁场与 CS 电流之间的耦合，最后一项表示一个电流源与这个场的耦合。

\partial_\nu \frac{\partial L}{\partial(\partial_\nu a_\mu)}=\frac{1}{2}\frac{s}{2\pi}\varepsilon^{\mu \nu \lambda}\partial_\nu a_\lambda-\frac{e}{2\pi}\varepsilon^{\mu \nu \lambda}\partial_\nu A_\lambda

\frac{\partial L}{\partial a_\mu}=-\frac{1}{2}\frac{s}{2\pi}\varepsilon^{\mu \nu \lambda}\partial_\nu a_\lambda+j^\mu

得到

J^\mu_{CS}=\frac{e}{2\pi s}\varepsilon^{\mu \nu \lambda}\partial_\nu A_\lambda+\frac{1}{s}j^\mu

以上式子可以解释为：向体系里面注入一个激发 j^\mu 和电磁场 A_\lambda ，它会产生一个电流 J^\mu_{CS} 。

三、有源与无源的情况

3.1 无源——横向电导

如果我们把准粒子源关闭 j^\mu=0 ，那么我们得到一系列方程组：

J^0_{CS}=\rho=-\frac{e}{2\pi s}B

J^1_{CS}=-\frac{e}{2\pi s}E^2 ， J^2_{CS}=\frac{e}{2\pi s}E^1

这就说明一个y方向的电场会产生一个x方向的电流，而电流的表达式为

I_x=(-e)J^1_{CS}=\frac{e^2}{2\pi s}E_y \to \frac{e^2}{\hbar s}E_y ,(1\to\hbar)

这里还是先保持 \hbar=1 ，只是做个样子

\sigma_{xy}=I_x/E_y=\frac{e^2}{h} \frac{1}{s}

这样我们只需要证明 s 是奇整数就行了。

3.2 有源——元激发特性

现在我们假设在 0 位置注入准粒子l，这里 l 是整数，代表 a_\mu 中 l 荷的准粒子（它同时还带有 A_\mu 中的电荷 q）。于是我们写出电流表达

-eJ^0_{CS}=\frac{e^2}{2\pi s}B-\frac{el}{s} \delta^2(x)

右边第一项是从 FQH 基态得到的电荷密度，第二项则为注入准粒子带来的额外电荷。于是我们读第二项知道l对应的电荷为 -el/s ，同时其携带了 2\pi l/s 的通量。

四、为什么 s 是奇整数

现在我们考虑两个粒子交换的情况。假设两个粒子 l_1=l_2=l ，现在相互交换位置，得到的相位为

\delta \Phi=2\pi \frac{l_1 l_2}{s}=2\pi \frac{l^2}{s}

然后我们因为只是绕了半圈，所以有

\pi \eta=\pi \frac{l^2}{s} \Rightarrow \eta=\frac{l^2}{s}

所以，我们得到一个结论：FQH 激发态中的准粒子在 a_\mu 场里面携带荷 l ，同时对应携带 A 场里面的电荷 -el/s ，同时交换两个准粒子带来相位变化 l^2/s

我们现在考虑元激发是一个真正的电子，那么会是什么样的情况呢？首先，真正的电子携带电荷 -e ，其对应了 a 场核 l=s ，交换两个电子的相位变化是奇数，同时是 s^2/s=s ，所以s是一个正奇数，这就是最简单的说明s是奇数的办法。

比如说最简单的 s=3 ，其对应了占据数 \nu=1/3 ，其有电荷 -e/3 ，这就是传说中的分数电荷。