时间反演对称性与Krammers简并

孤光一点萤

中国科学院大学计算物理

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时间反演对称性

时间反演操作改变时间箭头的方向，使得 t \rightarrow -t 。
对于经典物理，比如外力不显含时间下，有：

F=ma=m\frac{d^2r}{dt^2}

方程里时间的二阶导数带来了时间反演对称：当 t \rightarrow -t 时，连续两次对时间偏导导致负号抵消，运动方程不变。
在非相对论量子力学里面，时间和空间坐标并不是地位等同的坐标，时间反演不会改变粒子的位置，因此

T \hat{x} T^{-1}=x

时间箭头反向，速度是坐标对时间的一阶导数，因此速度或者说动量会多一个负号：

T \hat{p} T^{-1}=-\hat{p}

同样，对于自旋也有；

T \hat{S} T^{-1}=-\hat{S}

根据坐标-动量对易关系，可以得到：

T[\hat{x}, \hat{p}] T^{-1}=T i \hbar T^{-1}=-[\hat{x}, \hat{p}]=-i \hbar

因此 T i T^{-1}=-i
时间反演算符是反幺正的，而且正比于复共轭的操作。
对于无自旋的粒子，时间反演算符可以写为： T=K ，其中 K 是一个复共轭算符。一般情况下，可以写为 T=UK ，其中 U 是一个幺正矩阵。
比如对于自旋 \frac{1}{2} 的粒子，可以取 T=i\sigma_yK ，其满足 T^2=-1 。
对于 k 空间的哈密顿量 H(k) ，根据上面的分析，由于时间反演算符正比于共轭操作，其作用效果是 k \rightarrow -k ，可知：时间反演对称性意味着 H(-k)=H^*(k) 。

Krammers简并

对于费米子体系，时间反演算符连续作用之后有：

\hat T^2=-1

对于 \langle\psi|\hat{T}| \phi\rangle ，插入 \hat{T}^{\dagger} \hat{T}=I ,
可以得到：

\begin{aligned}<br>\langle\psi|\hat{T}| \phi\rangle &=\left\langle\psi\left|\hat{T}^{\dagger} \hat{T} \hat{T}\right| \phi\right\rangle \\<br>&=-\left\langle\psi\left|\hat{T}^{\dagger}\right| \phi\right\rangle \\<br>&=-\langle\phi|\hat{T}| \psi\rangle<br>\end{aligned}

如果取 \psi=\phi ，则有：

\langle\phi|\hat{T}| \phi\rangle=-\langle\phi|\hat{T}| \phi\rangle=0

说明 |\phi\rangle 和 \hat{T}| \phi\rangle 相互正交，或者说它们是两个不同的态。
如果系统具有时间反演对称性，那么时间反演操作和哈密顿量对易，它们有共同的本征态，设：

H|\phi\rangle =E|\phi\rangle

则有：

HT|\phi\rangle =TH|\phi\rangle=TE|\phi\rangle=ET|\phi\rangle

说明 \hat{T}| \phi\rangle 是哈密顿量对应于同一个能量的另一个本征态。因此在时间反演对称的费米子系统中，至少存在二重简并，这种简并叫做Krammers简并。
和刚才类似，在 k 空间，为了方便，设哈密顿量为常数矩阵，不显含 k ，则时间反演对称性要求哈密顿量 H=H^* 。构造满足条件的哈密顿量最简单的方式之一就是，写一个随机哈密顿量，然后把它和它自身的转置共轭做一个平均。例如：

def TRS_H(N):
    randn = np.random.randn
    H = randn(N,N) + 1j * randn(N,N)
    H += H.T.conj()