参考《运筹学教程》-胡运权

排队论是对排队问题的研究，表示为随机聚散服务系统。聚即为到达，散即为离去，随机指的是顾客的到达情况与每个顾客接受服务的时间是随机的。

一般来说，顾客的相继到达时间与服务时间这两个量至少有一个量是未知的。因此，排队论一般被称为随机服务系统理论。

以下仅介绍基本概念

说明顾客如何到达系统：

1. 总数：有限/无限
2. 到达方式：单个/成批
3. 相继到达时间的分布：设Tn为第n个顾客的到达时间，先假设n个顾客相继到达，即 T_1<T_2<...<T_n ，设 X_n=T_n-T_{n-1} ，则假定Xn是独立同分布的。

• D，定长分布
• M，泊松分布
• Er，爱尔朗分布（介于泊松分布与正态分布之间）
• G，任意分布

排队可以分为两种：

• 有限排队：排队系统中顾客数有限
• 无限排队：排队系统中顾客数可以是无限的，到达系统后均可接受服务

有限排队系统有可以分为：

• 损失制排队系统，排队空间为零，不能处理则立刻损失
• 混合制排队系统，允许排队，但不允许无限延长

混合制排队系统一般具有以下特点：

1. 队长有限
2. 等待时间有限
3. 逗留时间（等待时间+服务时间）有限

• FCFS 先来先服务
• LCFS 后来先服务
• PS，具有优先权的服务

已经知道服务太的服务时间V，对应的分布函数B(t)，密度函数b(t)

负指数分布：t>0时有

Kendall记号系统： X/Y/Z/A/B/C

• X表示顾客相继到达时间间隔的分布
• Y表示服务时间的分布
• Z表示并联服务台的个数
• A表示系统容量，即总共能容纳的顾客的个数
• B表示顾客源的数目
• C表示服务规则

一些描述排队系统的指标

• 队长：系统中的顾客数 T ( t )

即如果涉及到队列则加上q

一般来说，难以估算这些量的瞬时分布，所以排队论中会选择系统处于平衡状态时进行分析。此时，队长的分布，等待时间的分布，忙期的分布与系统所处的时刻无关。

一.随机过程（Stochastic Process）： 1.定义：设随机实验的样本空间S={s}，如果对于每个s，有对应属于参数集T的参数t的函数X(s,t)，那么对于所有的s，得到一组t的函数{X(s,t),t∈T}，这个t的函数族称为随机过程，简记为X(s,t)或X(t)。 族中的每个函数称为该过程的一个样本，它是随机过程一次试验的物理实现，是一个确知的时间函数，称为样本函数或样本曲线。 排队 论起源于1909年丹麦电话工程师A.K.爱尔朗的工作，他对电话通过拥挤问题进行了研究。1917年，爱尔朗发表了他的著名文章——“自动电话交换中的概率论的几个问题的解决”。 排队 论已广泛应用于军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的问题，显示了强大的生命力。 排队 是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常需要 排队 。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台，服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了 排队 现象。... 01 排队 论背景与发展介绍 排队 论最早起源于对电话通讯 排队 接线的研究，早在1909年，丹麦数学家A. K. Erlang 发表了The Theory of Probabilities and Telephone Conversations 初步产开了对由于随机需求的出现而产生非稳态队列的现象的研究。在他后期的工作中，他发现了几个重要结论: 自动电话通讯系统可以以两种基本概率模型模拟: 1. 泊松输入，指数分布服务时间，多服务流 2. 泊松输入, 稳定常态服务时间，单服务流。Erlang亦提出队列稳态平衡的概 排队 论 (queuing theory)，或称随机服务系统理论， 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、 排队 长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科，也是研究服务系统中 排队 现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络、生产、运输、库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队 论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态， 标杆分析《孙子兵法》"知己知彼，百战不殆"指都是标杆分析。 离散程度的指标：极差，四分位全距，平均差，方差，变异系数。时间序列特征指标时间序列水平指标：用来反映研究现象的绝对变动量或平均变动量，包括，发展水平，增长量和平均增长量。时间序列速度指标：用来反映研究现象在动态上发展变动的相对程度或平均程度，包括发展速度，增长速度，平均发展速度和平均增长速度。 偏度与峰度 偏度：... 参考：https://wenku.baidu.com/view/338d09ffc4da50e2524de518964bcf84b8d52ded.html 1.基本概念 （1）解决的问题 常见的现象： 上、下班搭乘公共汽车;顾客到商店购买物品;病员到医院看病;旅客到售票处购买车票;学生去食堂就餐等就常常出现 排队 和等待现象， 排队 的不一定是人也可以是物。 解决： 面对拥挤现象，人们总是希望尽.量设法减少 排队 ，通常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 文章目录一、为什么需要有 排队 论模型二、 排队 论的定义三、 排队 论的一般模型和研究目的四、 排队 系统的组成和特征4.1 排队 系统的组成4.1.1输入过程4.1.2 排队 规则4.1.3服务过程4.2 排队 论模型表示 一、为什么需要有 排队 论模型 在服务过程中，要求服务的数量超过了服务机构（服务台，服务 员等）的容量，客户不能离地得到服务，因而产 生了 排队 现象。 常见于旅客购票 排队 、市内电话占线问题、车，船堵塞和疏导，故障及其停机待修，水库的存储调节等等，由于顾客到达和服务时间的随机性， 排队 现象机会是不可避免的。 二、 排队