雅可比行列式就是一种面（体）积的放缩因子。

当有些坐标系中的积分，不方便使用本坐标系来计算，却更易于使用其他坐标系计算时，就需要在积分计算中乘以一个放缩因子，以保证所计算的积分数值一致。

以二维平面为例。有连续可微函数 x=x(u,v) ， y=y(u,v) ，由于它的相关积分在 Oxy 平面上不易计算，需要放在 Ouv 平面中进行计算。这时，对于原来积分中的 dxdy ，就需要相应地转写成 dudv 的形式。

由于 x=x(u,v) ， y=y(u,v) ，所以 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv\\ dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv\\ \end{aligned} \right. \end{equation} ，写成矩阵的形式就是 \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix}=\bold J \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} 。

然而，在这里直接使用 dx·dy 是不正确的，因为这样并不能得到 dudv 形式的微分。

事实上，利用 dxdy “面积单位”的定义，可以计算出在 Oxy 平面内的单位面积，在 Ouv 平面中的体现。由于雅可比矩阵 \bold J 给出了关于两个坐标系之间单位面积的换算关系，所以可以把 |\bold J| 作为这个面积转换因子。

直观地来看， |\bold J| 实际上就是平行四边形 \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} 的面积。

下面再举一例进行解释。对于极坐标系 O\rho \theta 和直角坐标系 Oxy ，都可以用两个坐标表示平面上的任意一点，也都可以有表示一个微小步长的微分 d\rho 、 d\theta 与 dx 、 dy 。

但是，在 Oxy 平面中的一个小方格 dxdy ，在极坐标系中的表达方式就完全不同了。例如，当 \rho 和 \theta 都同时增加一个微小步长时，由于在直角坐标系中无法直接衡量 d\theta ，而要依靠弧长的增加量，即 \rho d\theta 来加以衡量，所以这时的一个面积单位就不是 d\theta d\rho ，而是 \rho d\theta d\rho 。这里的 \rho ，就是在极坐标系和直角坐标系之间起转换作用的放缩因子。

如果进一步分析，可以发现 d\rho 和 d\theta 所生成的一个微小的平行四边形面积单元的坐标，正好与其雅可比矩阵 \begin{bmatrix} \cos \theta & -\rho \sin\theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{bmatrix} 一样。这就说明，对于 O\rho \theta 坐标系中的每一个面积单元 d\rho d\theta ，其都可以通过雅可比行列式来对应到 Oxy 坐标系中的面积单元 dxdy 。通过无数个这样的微小单元之间的对应关系，保证了换元前后的积分数值是一致的。