柯西-施瓦茨不等式

数学 上， 柯西-施瓦茨不等式 ，又称 施瓦茨不等式 或 柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 ，是一条很多场合都用得上的 不等式 ；例如 线性代数 的 矢量 ， 数学分析 的 无穷级数 和乘积的 积分 ，和 概率论 的 方差 和 协方差 。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如 赫尔德不等式 。

不等式以 奥古斯丁·路易·柯西 （Augustin Louis Cauchy）， 赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨 （Hermann Amandus Schwarz），和 维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基 （ 英语 ： Viktor_Bunyakovsky ） （Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

• 1 叙述
• 2 特例
• 3 矩阵不等式
• 4 复变函数中的柯西不等式
• 5 其它推广
• 6 参见
• 7 注释
• 8 参考资料

对于一个 内积空间 中的向量 ${\displaystyle x}$ 表示 内积 ，也叫点积。等价地，将两边开方，等式右边即可以写为两向量 范数 乘积的形式。 {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}

另外，当且仅当 x 和 y 线性相关 时，等式成立（仅两个向量而言，线性相关等同于 平行 ）。 {\displaystyle |x_{1}{\bar {y}}_{1}+\cdots +x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).}

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果：内积是 连续 的，甚至满足一阶 利普希茨条件 。

• 对 欧几里得空间 R ⁿ ，有

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}$ 。

等式成立时： {\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}

也可以表示成 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

证明则须考虑一个关于 ${\displaystyle t}$ 的一个 一元二次方程式 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0} {\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0} {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

而等号成立于 判别式 ${\displaystyle D=0}$

也就是此时方程式有 重根 ，故 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}

• 对平方可积的复值 函数 ，有

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}$ 。

这两例可更一般化为 赫尔德不等式 。

• 在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至 拉格朗日恒等式

${\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}}$

在 n =3 时的特殊情况。