拓扑学是现代数学的重要的分支学科。它研究几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换(称为同胚)之下保持不变的性质。理解的广泛些，它是研究数学中连续性现象的学科。

拓扑学萌芽很早，但直到19世纪末才开始从不同的方面正式形成学科。20世纪末，拓扑学已发展为现代数学的一个庞大的学科，包括作为现代数学的基础的拓扑空间理论为核心内容的一般拓扑学，运用抽象代数的概念和方法为工具的 代数拓扑学 ，进而派生出以流形为主要对象的 微分拓扑学 以及 几何拓扑学 等方面.拓扑学可简称为拓扑，但拓扑一词还可作为拓扑空间中的拓扑结构理解。

拓扑学最初被称为形势几何学(geometria situs)，这是 莱布尼茨 (Leibniz，G.W.)于1679年提出的，他预见到现在所称的组合拓扑学.最早为人所知的拓扑学定理可能是所谓的欧拉公式.欧拉(Euler，L.)于1750年发表了任何闭的凸多面体的顶点数v，棱数e和面数f有关系v-e+f=2.用现代说法，它是一个 拓扑不变量 ，称为 欧拉示性数 .据史学家考证，笛卡儿(Descartes，R.)在1639年就知道它，并且莱布尼茨通过笛卡儿未发表的手稿于1675年得知这一结果.另一著名的结果是哥尼斯堡七桥问题的解决，欧拉在1736年将问题表成能否一笔画一个给定的图，并给出了一般性的解答.德国数学家高斯(Gauss，C.F.)于1827年得到曲面上曲率的积分与欧拉示性数的关系，他于1823年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数. 利斯廷 (Listing，J.B.)于1848年第一次采用了拓扑学一词，其实他认为宁愿用形势几何，只是已被别人采作他用. 黎曼 (Riemann，B.)于1851年定义了黎曼面，引进了连通性和亏格，实际上解决了可定向闭曲面的分类问题，给拓扑学的建立以巨大的推动.1858年，默比乌斯(Mo¨bius，A.F.)和利斯廷独立地发现了单侧的曲面，现被更确切地称为不可定向曲面. 默比乌斯 于1863年恰当地指出形势几何学的定义.贝蒂(Betti，E.)于1870年定义了高维的连通性.若尔当(Jordan，C.)于1887年提出曲线定理，但证明是错的，直到1905年才得证.

拓扑学正式成为一门独立的学科是 庞加莱 (Poincaré，H.)实现的.他于1892年发表了题为“论形势分析”的短文，然后于1895年发表了题为“形势分析”的120页的长文，介绍它的概念，其中有同调、贝蒂数、相交、基本群，甚至隐含着上同调;建立了对偶定理和欧拉-庞加莱公式.随后直到1904年，他连续发表了五篇补充，为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法，定义了挠系数，开始探讨三维流形的拓扑分类，构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形，并提出了著名的至今尚未解决的庞加莱猜想：基本群平凡的三维闭流形同胚于三维球面.这几篇文章奠定了组合拓扑学的基础，其思想之丰富，观念之深刻，影响之深远，一言难尽，但不够严密或缺乏证明，后来的进展正是从此入手，将这门学科建立在严格的逻辑上而发展为后来的组合拓扑学、代数拓扑学，进而发展出 微分拓扑学 等学科和分支.

拓扑空间是 欧几里得空间 的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为 豪斯多夫空间 (即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了 紧空间 的 积空间 的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间( 吉洪诺夫空间 )的概念。

20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年 布尔巴基学派 的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=gx∈X

则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{h _t } _t∈I ，h _t 连续地依赖于t且h ₀ =f，h ₁ =g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。

设X，Y为拓扑空间，若存在 连续映射 f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id _x 且f·g≃id _r 。这Id、id均表示恒同映射，则称f为同伦等价，g为f的同伦逆，而将X与Y称为具有相同的伦型，或简称同伦的，记作X≃Y。与单点空间同伦的空间称为可缩的，或者存在x ₀ ∈X，使得常值映射C：X→X。x ₁ →x ₀ 与映射id _x 同伦，空间X可缩。R和R中凸集均为可缩空间。同伦关系是拓扑空间之间的等价关系。X可缩等价于下列几条中任意一条：(1)id _x ≃0，即恒同映射id _x 零伦。(2) 对任意空间Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)对任意空间Z和连续映射g：Z→X，g≃0。

设A是空间X的子空间，i：A→X表包含映射，若存在连续映射r：X→A，使得r| _A =id _A (或r·i=id _A )，则r称为X到A的保核收缩，A称为X的收缩核。若有保核收缩r：X→A满足i·rid _x ：X→X，则H称为X到A的形变收缩，A称为X的 形变收缩核 ，若同伦H还满足对任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，则H称为X到A的一个强形变收缩，A称为X的强形变收缩核。强形变收缩是形变收缩，且若A是X的形变收缩核，则内射i：A→X是同伦等价。

两个拓扑空间X和Y同伦等价的充要条件是：存在空间Z，使得X与Y分别 同胚 于Z的两个强 形变收缩核 。

伦型相同的拓扑空间所共有的性质称为 同伦不变量 。由于同胚的空间必同伦，故同伦不变量一定是 拓扑不变量 。 代数拓扑学 主要研究空间的同伦。

设A为空间X的子空间，序偶 (X，A) 称为空间偶，连续映射f： X→Y，把A映到Y的子空间B内，则记f：(X，A)→(Y，B)。若有连续映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=id _x ，f·g=idY，则f为空间偶的同胚。同样有偶的同伦的概念。若有偶的同伦：fg：(X，A)→(Y，B)满足：对任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，称f和g相对于A同伦，记作：

当A为空集∅时，相对同伦就是一般同伦。设A⊂X，则A是X的强形变收缩核的充要条件是：存在收缩映射(保核收缩)r：X→A使得ir≃id _x ：X→XrelA，其中i：A→X为内射。

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