0. 勾股定理&余弦定理

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。

1. 关于反正切的恒等式

关于反正切，有如下两个很精彩的等式：

arctan1/2+arctan1/3=π/4
acrtan1+arctan2+arctan3=π

它们的证明方法也同样精彩

2. 几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和基础的等式：

√ab≤(a+b)/2
它也可以通过图形来证明。

注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。

3. Hex Numbers(中心六边形数)求和公式

由平面图形到立体图形的这步转换，实在是令人拍案叫绝！

4. 平方数的求和公式

5. 立方数的求和公式

6. 斐波那契数列的恒等式

可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和， F _n+1 = F _n + F _n-1 。

它的通项公式是

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时 F _n-1 / F _n 越来越逼近黄金分割数0.618。正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的

这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法

7. 定积分的分部积分法

原来分部积分法的几何意义是如此简单直观。。可是为什么当初刚学的时候没有人告诉过我呢~？

8. 最受数学家喜爱的无字证明

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。

9. 棋盘上的数学证明

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。

上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

数学里，有一种证明方法叫做Proofs without words。诚然，这种证明方法算不上严格，但是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来。本文列举了十个经典的例子。你还见过什么高明的吗，可以在回帖中写出来。如果有很漂亮的，我会在这里推荐出来。

资料来源：

《Proofs without words》

mathoverflow

《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

matrix67的《 盯着结论看，直到它变得显然成立为止 》

//原载于 果壳网 ，但是在这里我又做了一些改动。

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关于“8. 最受数学家喜爱的无字证明”不太明白，也许每个按规则摆好的结果再按规则给每个菱形涂上色，最后真的都是“看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子”。 可是这不证明–每个按规则摆好的结果再按规则给每个菱形涂上色一定会是“看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子”。或者至少，要先证明这一点？否则就会有象我这么迟钝的人看不懂啊。

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