假设我们实验获得了这样的一组数据：通过对研究对象（各 实验单位 ）进行不同 处理 （控制各变量的 水平 ），导致实验对象的某一指标（ 因变量 ）在实验单位间出现差异。同时，为了更好的探讨差异的来源，同时提高结果的可靠性，同样的处理我们做了多次 重复 （一般要大于3）。

这样就可以将数据的变异划分为组内变异和组间变异， 组内变异 即各实验重复间的差异，由于随机误差导致。 组间变异 即各处理组之间的差异，由随机误差和处理效应导致。方差分析的 基本思路 就是将变异分解为组间变异和组内变异差异的大小（服从 SS_{T}= \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n} (\overline x_{i}-\overline x)^2+ \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n} (x_{ij}-\overline x_{i})^2 S S T ​ = i = 1 ∑ k ​ j = 1 ∑ n ​ ( x i ​ − x ) 2 + i = 1 ∑ k ​ j = 1 ∑ n ​ ( x ij ​ − x i ​ ) 2

可以看出 组间平方和 \begin{aligned} SS_t &=\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n} (\overline x_{i}-\overline x)^2\\ &=n\sum_{i=1}^{k} (\overline x_{i}-\overline x)^2 \end{aligned} S S t ​ ​ = i = 1 ∑ k ​ j = 1 ∑ n ​ ( x i ​ − x ) 2 = n i = 1 ∑ k ​ ( x i ​ − x ) 2 ​

而 组内平方和 \begin{cases} C&=T^{2}/(kn)\\ SS_T&=\sum\sum x^{2}_{ij}-C\\ SS_t&=\sum(T^2_{i}/n)-C\\ SS_e&=SS_T-SS_t \end{cases} ⎧ ​ C S S T ​ S S t ​ S S e ​ ​ = T 2 / ( kn ) = ∑∑ x ij 2 ​ − C = ∑ ( T i 2 ​ / n ) − C = S S T ​ − S S t ​ ​

在计算方差的时候，各方差的自由度受对应的平方和的约束，所以可以分别得出总自由度、处理自由度和误差自由度：

为了更好的解读方差分析结果，有必要按特定的 规范 书写方差分析，一般方差分析的结果可表示为：
\begin{array}{ccccc} 变异源 & SS & df & MS & F\\ \hline 处理效应 & SS_t=\sum(T^2_{i}/n)-C & df_{t}=k-1 & MS_t=SS_t/df_t & F=MS_t/MS_e^{***}\\ 随机误差 & SS_e=SS_T-SS_t & df_e=k(n-1) & MS_e=SS_e/df_e & ~\\ 总变异 & SS_T=\sum\sum x^{2}_{ij}-C & df_T=kn-1 & ~ & ~\\ \end{array} 变异源 处理效应 随机误差 总变异 ​ SS S S t ​ = ∑ ( T i 2 ​ / n ) − C S S e ​ = S S T ​ − S S t ​ S S T ​ = ∑∑ x ij 2 ​ − C ​ df d f t ​ = k − 1 d f e ​ = k ( n − 1 ) d f T ​ = kn − 1 ​ MS M S t ​ = S S t ​ / d f t ​ M S e ​ = S S e ​ / d f e ​ ​ F F = M S t ​ / M S e ∗∗∗ ​ ​ ​

单因素方差分析结果一般辅以 箱型图 来展示，可有效的提供处理效应显著性、差异显著性、数据分布等有效信息。

ggplot系列 包因为可以图层叠加，可以极大的节省后期修图的工作量，目前基本已成为R语言可视化的首选。
下列代码以 ggplot2 绘制箱型图，数据集仍为 data.csv ，最后使用 ggsignif 标记 差异显著性 。
绘制箱形图 ：