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广义牛顿二项式展开？
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二项式定理: (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k , 其中 {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} 是组合数.
当 n 不是正整数时, k 无法正好求和到 n , 因此将一直求和至正无穷, 这样形式上就得到了广义二项式定理: (x + y)^\alpha = \sum _{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^{\alpha - k} y^k , 其中 {\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha-1) ... (\alpha - k +1)}{k!} 是形式上的组合数.
实际上广义二项式定理并非总是成立, 因为等式右边不一定收敛. 广义二项式定理实际上就是 (1+x)^\alpha 的幂级数展开. 对于题主的问题, 不妨假设 a<b , 因此
(a+b)^\frac{1}{2}=b^\frac{1}{2}(1+\frac{a}{b})^\frac{1}{2}=b^\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\frac{a}{b}-\frac{1}{8}(\frac{a}{b})^2+\ldots\right) .
对于这个问题，推荐一本书：《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》。这本书的第一章第一节（ 广义二项展开式-图灵社区 ）专门阐述了广义二项展开式。这一节通俗易懂，读完之后就能搞懂了。