(1) 归纳奠基（最小问题）： 证明 n=1 时命题成立；

(2) 归纳假设（子类问题）： 假设 n=k 时命题成立；

(3) 归纳递推（解决当前问题）： 由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。

从而就可断定命题对于从所有正整数都成立。

第二数学归纳法（完整归纳法）

第二数学归纳法原理是设有一个与正整数n有关的命题，如果：

(1) 归纳奠基： 当 n=1,2 时，命题成立；

(2) 归纳假设： 假设当 n≤k （k∈N）时，命题成立；

(3) 归纳递推： 由此可推得当 n=k+1 时，命题也成立。

那么根据①②可得，命题对于一切正整数n来说都成立。

单调有界准则 ，数列 递推 ，一定要 递推关系 ，不是递推用不了

设a1=1, \(a_{n+1}+√(1-an)=0\) ，证明{an}收敛，并求 \(lim_{n→∞}a_n\) .

若存在极限，设为A，则A+√(1-A)=0，A=(-1-√5)/2
a1=1,a2=0,a3=-1，所以 猜想{an}单调递减，有下界

下面用 第二数学归纳法 证明{an}单调递减：（一般用于 单调性 ）

n=1,n=2 时，a1=1，a2=0，a1>a2

假设 n≤k 时， \(a_{k-1}>a_{k}\) 成立

当 n=k+1 时， \(a_{k+1}=-√(1-a_k)<-√(1-a_{k-1})=a_k成立\)

所以{an}单调递减

下面用 第一数学归纳法 证明{an}有下界：（一般用于 上下界 ）

n=1 ,a1=1>(-1-√5)/2成立

假设 n=k 时，ak>(-1-√5)/2成立

当 n=k+1 时， \(a_{k+1}=-√(1-a_k)\) >(-1-√5)/2
1-ak<(3+√5)/2=(1+2√5+5)/4
√(1-ak)<(1+√5)/2

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