穿针引线法解一元高次不等式
穿针引线法
求一元高次不等式的解集
【
方法介绍
】
简单的一元高次不等式，主要通过分析对应函数的图象解决，常称为
穿针引线法
或
数轴标根法
、
序轴标根法
、
根轴法
，其步骤如下：
1)、将
f
(
x
)
最高次项的系数化为正.
2)、将
f
(
x
)
分解为若干个一次因式的积或二次不可分解因式的积，然后求出
f
(
x
)
=
0
的解，并在数轴上标出.(原不等式包含 "
=
" 时用实心点；不含 "
=
" 时用空心圆圈).
3)、自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次由各解穿过数轴.
用曲线经各解穿数轴时，遵循 “
寄过偶不过
” 的原则，即对应因式的次数是寄数就穿过，为偶数则穿而不过。例如不等式
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
2
(
x
−
c
)
⩾
0
（
c
>
b
>
a
）时，作图如下图：
由于
(
x
−
b
)
2
项是偶数次，所以b这个根穿而不过.
4)、记数轴上方为正，下方为负，根据不等号写出解集.
用此方法需要注意两点，一是区点的端点能否取到，二是各因式中最高次项系数必须为正.
【
例
】
求不等式
(
x
2
−
1
)
(
x
3
−
1
)
(
x
2
−
5
x
+
6
)
⩽
0
的解集.
【
解
】
对原式因式分解得到
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
⩽
0
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(
x
−
1
)
2
(
x
2
+
x
+
1
)
⩽
0
计算
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(
x
−
1
)
2
(
x
2
+
x
+
1
)
=
0
的根
由于
x
2
+
x
+
1
无实根，不用处理，其它几个根为，
−
1
,
1
,
2
,
3
, 将根标到数轴上并从右上开始穿线，注意偶次方因式
(
x
−
1
)
2
的根
1
不要穿过，得到下图:
题目要求小于等于0，所以解集为：
{
x
∣
x
⩽
−
1
或
x
=
1
或
2
⩽
x
⩽
3
}
