定义和含义

原命题和逆否命题的等价性，指的是， 逆否命题 和 原命题 肯定是同时成立或者同时不成立的，也就是说等价的 ^[1] ，也就是 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 和逆否命题 [math]\displaystyle{ \bar{B} \Rightarrow \bar{A} }[/math] 等价, 即 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B \Longleftrightarrow \bar{B} \Rightarrow \bar{A} }[/math] ^[1] 。

在这里，它属于第一层知识，即事实性知识。

辅助理解的解释

原命题和逆否命题的等价性是数学逻辑中的一个重要原理，它表明原命题和它的逆否命题在逻辑上是等价的，即如果原命题为真，则其逆否命题也必然为真；反之，如果原命题为假，则其逆否命题也必然为假。

原命题和逆否命题的等价性的数学证明

我们可以通过 集合的思想 和语言来完成这个数学证明过程，以下是摘自《小学数学这样学》的证明内容 ^[1] ：

命题表示的集合

(图片来源于《小学数学这样学》 [1] )

证明：根据上图, [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 对应的集合关系就是集合 [math]\displaystyle{ A \subset B }[/math] 。我们来看看，这个条件下是否有 [math]\displaystyle{ \bar{B} \subset \bar{A} }[/math] , 如果有, 则这意味着 [math]\displaystyle{ \bar{B} \Rightarrow \bar{A} }[/math] 。证明就完成了。

我们发现， [math]\displaystyle{ \bar{B} }[/math] 是外面的白色区域， [math]\displaystyle{ \bar{A} }[/math] 是蓝色之外的所有区域，其包含 了外面的白色区域加上蓝色之外的红色区域, 因此, [math]\displaystyle{ \bar{B} \subset \bar{A} }[/math] 。

由于我们有 [math]\displaystyle{ \overline{\bar{A}}=A }[/math] , 反过来的论证和上面这个论证过程是一样的，只要我们把现在的 [math]\displaystyle{ A }[/math] 看作新的 [math]\displaystyle{ \bar{B} }[/math] , 同时把现在的 [math]\displaystyle{ B }[/math] 看作新的 [math]\displaystyle{ \bar{A} }[/math] 。于是，你会发现，反过来也是同样成立的，所以我们可以建立双向的推出箭头，也就是正式建立等价性。

这里，你可以顺便感受到集合的思想对于我们进行 逻辑推理 时的帮助，上面的例子仅仅是用到了 集合 中的 全集 、 补集 和 包含关系 ，就可以推理出这样强大的结论。试着去体会现实语言和集合的思想的关系并且去寻找更多的集合的思想帮助我们更好的思考和描述世界的例子吧！

反证法的基础就是原命题和逆否命题的等价性

反证法 ，作为数学证明中非常重要且非常常用的一种方法，其本质上就是依赖于 原命题和逆否命题的等价性 。这是非常重要的命题之间的关系。正是这个关系才使得反证法可以用来做数学论证。当我们要证明某个命题是对的，我们可以通过证明如果它错了就会有矛盾，就会和某些已经确定是对的东西冲突，于是，如果我们希望没矛盾，不冲突，则肯定这个假设错了，原来的命题是对的 ^[1] 。

于是，你可以知道，如果一个证明的命题证明起来很麻烦或者很困难，就可以寻找这个命题的逆否命题来进行证明。一旦证明的原命题的逆否命题的真假，那么直接可以对应到原命题的真假。这就是逻辑推理能够为我们带来的宝藏工具。