罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。

罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件：

• f(x)在闭区间[a,b]上连续
• f(x)在开区间(a,b)上可导
• f(a)=f(b)

则存在ξ ∈ (a,b)，使得f'(ξ)=0

举例：往返跑，从A点出发，经过一段时间又回到了A点，根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点。

f(x)在闭区间[a,b]连续是必须的，否则有可能没有f'(ξ)=0：

在开区间(a,b)可导也是必须的：

为什么不是“f(x)在闭区间[a,b]连续、在闭区间[a,b]可导”？

大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”。

拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件：

• f(x)在闭区间[a,b]上连续
• f(x)在开区间(a,b)上可导

那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ，满足

举例：如果限速60km/h，那么根据汽车的平均速度为70km/h，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

当f(a)=f(b)时，得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。

柯西中值定理

假设参数方程：

描述了一个二维空间中的运动。

为了方便描述，令A=(g(a),f(a))、B=(g(b), f(b))，那么下图描述的就是a时刻在A位置，b时刻运动到了B位置。向量a就表明了最终的运动方向：

刚开始的时候，速度v的方向与a相反，也就是说点是反着走的：所以需要不断转弯调整，最终才能到达目的地。容易想象，在转弯调整的过程中，必然会有v和a同向的时刻，比如t=ξ时刻，那么两者所在直线必然也平行。

此时，a所在直线的斜率，以及v所在直线的斜率（根据参数方程的求导法则），必然相等：

这就是柯西中值定理。

拉格朗日中值定理描述的是一维空间的运动，柯西中值定理描述的是二维空间的运动，可见拉格朗日其实是柯西的特例。