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协方差矩阵

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统计学与概率论概念
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本词条由 “科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。
在统计学与 概率论 中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从 标量 随机变量 到高 维度 随机向量 的自然推广。
中文名
协方差矩阵
外文名
covariance matrix
别    名
方差矩阵 [1]
领    域
统计学 与 概率论
形    式
矩阵
特殊性
为对称非负定矩阵
元    素
各个向量元素之间的协方差

目录

  1. 1 概念
  2. 2 性质
  3. 3 应用

概念

播报
编辑
设
为n维随机变量，称矩阵
为n维随机变量
的协方差矩阵（covariance matrix），也记为
，其中
为
的分量
和
的协方差（设它们都存在）。
例如，二维随机变量
的协方差矩阵为
其中
由于
，所以协方差矩阵为对称 非负定矩阵 。 [2]

性质

播报
编辑
协方差矩阵具有如下性质：
（1）
.
（2）
，其中A是矩阵，b是向量。
（3）
。 [3]

应用

播报
编辑
协方差矩阵可用来表示多维随机变量的 概率密度 ，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究。以二维随机变量
为例，由于
引入矩阵
，
及
的协方差矩阵
由此可得
由于
于是
的概率密度
此式可以推广到n维正态分布的情形。 [2]
 
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