定积分和不定积分的计算——换元法

对于很多人来说，计算定积分的想法是：先忽略积分范围，把定积分当作不定积分来求，然后最后再利用牛顿莱布尼兹公式公式进行求解。

首先，这种想法是片面的，不定积分和定积分有着本质的区别，一个是代表一个函数一个是代表一个数值（可能这样说你们会觉得没什么），还有解释一下为什么应用牛顿-莱布尼兹公式有时得出的答案会是错误的，因为牛顿-莱布尼兹公式是有应用条件，这个条件就是在积分范围内被积函数是必须是 连续的 ，这一点在考试中基本满足，但是这里有一个更关键的一点是当导数存在时原函数必须是 连续的, 总结上面来说就是应用牛顿-莱布尼兹公式的前提就在积分范围内原函数必须是连续的，否则应用牛顿-莱布尼兹公式就会导致出错，所以至此我们可以得出开头的想法在下面情况下是正确的：就是当以不定积分计算出来的原函数在积分范围内是连续的，那么这个想法是正确的，否则就是错误的。
这个讨论给我们的启发就是：不定积分是一个函数，那么我们就应该重视其定义域，特别要注重间断点，因为这对我们计算定积分的值影响很大。或者说在每次计算完不定积分之后要利用牛顿-莱布尼兹公式之前是要先计算一下积分结果函数的定义域。

在这里我们说下我们应该怎么计算不满足上面计算想法的定积分

思路1：就是对积分范围进行划分使得每个区间内原函数都是连续
思路2：就是对被积分函数利用奇偶性和周期性对积分范围进行调整

总结上面的思路：就是对积分范围进行调整，使其可以应用上面的计算想法

接下来说下调整的根据，以换元法展开说

先说下换元法在不定积分和定积分中的应用前提

为了方便描述这里假设换元的函数为 x=g(u) , x 为被积函数函数的自变量，积分范围为 \left[ a,b \right]
不定积分 中要求换元的函数必须使 单调可导 的函数，因为这是为了在计算完之后方便回代
定积分 中要求换元的函数其值域必须包含原函数的积分范围，即要存在 g(\alpha)=a,g(\beta)=b ,而且要求 x=g(u) 在区间 \left[ min(\alpha,\beta), max(\alpha,\beta) \right] 内具有连续的导数，这个要求相对不定积分的要求而言 不要求 积分 x=g(u) 必须是单调的，即使不单调也是可以用的，但是两者都要求换元的这个函数在其对应的范围内是 连续的 。

这里的连续要求就是我们进行调整积分范围的根据，也就是我们在计算时主要的工作就是保证这两个条件成立。

在实际应用中我们经常遇到的换元函数是形如 t=\varphi(x) 的函数，这时我们要最的第一件事就是先计算 t_0=\varphi(a),t_1=\varphi(b) ，然后考虑下面两种情况：
情况1： 若 t_0,t_1 都存在，且 t_0\ne t_1 那么我们只需要判断 t=\varphi(x) 的反函数 x=g(t) 的导函数在区间 \left[ min(t_0,t_1), max(t_0,t_1) \right] 内是否是连续的即可，连续的话那就直接换，否则就要考虑调整积分区间。
情况2： 不满足情况1中关于 t_1,t_0 假设的情况都属于情况2，在这种情况下就要直接计算 t=\varphi(x) 的反函数 x=g(u) 的值域，之后按照这个值域对原积分的积分范围进行调整，调整至积分范围被包含于 x=g(u) 的值域之中为止，到这一步还要判断在调整后的积分范围内 x=g(u) 的导数在对应区间内是否连续，连续则直接代入，否则还要在间断点处再划分一次积分范围。

综合以上两种情况 ：就是在换元时要保证形如的 x=g(u) 的换元函数的 值域包含积分范围 ，并且在对应积分端点的对应的定义域范围内 x=g(u) 有 连续的导函数 。

在实际做题时，可以直接将要换元的部分的图像画出来，x做为纵轴，u做横轴

在解题中划分区间后一般的处理思路是下面这样的

\int_{a}^{b}dx=\int_{a}^{c}dx+\int_{c}^{b}dx\Rightarrow\int_{a}^{c}dx+\int_{2c-b}^{c}d(t-c+b) 就是尽可能挤到同一个区间范围内讨论，这样可以换元基本一样，不会有过多的计算。

看到这里你或许或觉得这个也太麻烦了，但是其实就我们当前考试的范围来看，我们需要注意的就是换元函数 x=g(u) 是否有断点 ， 值域是多少是否包含积分范围 即可。还有一点就是在计算定积分时要 习惯缩小积分范围, 还有就是在进行 凑微分 时也要注意这一点（如果可以缩的话）

下面举一个例题（来自张宇高数18讲P144例7.29）

计算定积分 \[ \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x \]

解：令 \[ f(x)= \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \] ， 由 \[ f(x+\pi)=\frac{1}{1+\cos ^{2}( x+\pi)} =\frac{1}{1+\cos ^{2}x}=f(x) \] 可以得到函数 f(x) 是周期为 \pi 的周期函数，所以 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x &=2 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x \\ &=2\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x\right) \end{aligned} \]
令 x=\pi-t ,则 \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{d} t ，所以
\[ \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{d} x \]
令 tanx=t 得 \[ x=\arctan t, \cos ^{2} x=\frac{1}{1+t^{2}}, \mathrm{d} x=\frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d}t \] .
当 x=0 时， t=0 ；当 x=\frac{\pi}{2} 时， t=+\infty 故
\[ 原式=4 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2+t^{2}} \mathrm{d} t=\frac{4}{\sqrt{2}} \arctan \left.\frac{t}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{+\infty}=\sqrt{2} \pi \]

至于其他错误的做法你们可以结合上面的讨论试试，这里我就不给出了。