切比雪夫多项式：Tn（x）

我们首先考虑第一类切比雪夫多项式 T_n ，我们令 T_n=\cos{n\theta} ，n的取值从0开始，这里我们先考虑一个关于余弦函数多倍角的问题，逐一给出，

\begin{eqnarray} T_0=\cos{0\theta}&=&1\\ T_1=\cos{1\theta}&=&\cos{\theta}=x\\ T_2=\cos{2\theta}&=&2(\cos{\theta})^2-1=2x^2-1\\ T_3=\cos{3\theta}&=&4(\cos{\theta})^3-3\cos{\theta}=4x^3-3x\\ \ldots\ldots \end{eqnarray}

这里我们可以定义 x=\cos{\theta} ，于是我们有了第一类切比雪夫多项式 T_n(x) ，如果我们有时间的话，可以无限写下去，但是这里其实有隐藏的关系，于是我们需要找到有没有一个递推关系，幸运的是，有的，

\begin{eqnarray} T_n=\cos{n\theta}&=&\cos{\theta+(n-1)\theta}\\ &=&\cos{\theta}\cos{(n-1)\theta}-\sin{\theta}\sin{(n-1)\theta}\\ &=&\cos{\theta}\cos{(n-1)\theta}-\sin{\theta}(\sin{n\theta}\cos{\theta}-\cos{n\theta}\sin{\theta})\\ (\cos{\theta})^2\cos{n\theta}&=&\cos{\theta}\cos{(n-1)\theta}-\sin{\theta}\sin{n\theta}\cos{\theta}\\ \cos{\theta}\cos{n\theta}&=&\cos{(n-1)\theta}-\sin{\theta}\sin{n\theta}\\ \cos{\theta}\cos{n\theta}&=&\frac{1}{2}\cos{(n-1)\theta}+\frac{1}{2}\cos{(n+1)\theta}\\ T_{n+1}(x)&=&2 x T_n(x)-T_{n-1}(x),\ldots(n=1,2,3...) \end{eqnarray}

这里需要用到关系，

\begin{eqnarray} \sin{\theta}\sin{n\theta}&=&\frac{1}{2}(\cos{(n-1)\theta}-\cos{(n+1)\theta}) \end{eqnarray}

最后我们有了递推关系，这里还有一个问题我们发现这个x是有限制的， |x|\leq1 。但是实际上多项式的定义域是可以替换的的，把其余位置的值也考虑进来，也就是说这里的 x=\cos{\theta}\rightarrow x=\pm\cosh{\Theta} ，这里的 x>1 和 x<-1 ，于是整个定义域都有了定义。于是定义 T_n=\cosh{n\Theta} ，根据这样的关系，我们逐一来考虑，

\begin{eqnarray} T_0=\cosh{0\Theta}&=&1\\ T_1=\cosh{1\Theta}&=&\cosh{\Theta}=x\\ T_2=\cosh{2\Theta}&=&2(\cosh{\Theta})^2-1=2x^2-1\\ T_3=\cosh{3\Theta}&=&4(\cosh{\Theta})^3-3\cosh{\Theta}=4x^3-3x\\ \ldots\ldots \end{eqnarray}

与余弦函数多倍角的关系是一样的，我们一样可以给出递推关系，

\begin{eqnarray} T_n=\cosh{n\Theta}&=&\frac{1}{2}(e^{n\Theta}+e^{-n\Theta})\\ &=&\frac{1}{2}[(e^{\Theta}+e^{-\Theta})(e^{(n-1)\Theta}+e^{-(n-1)\Theta})-(e^{(n-2)\Theta}+e^{-(n-2)\Theta})]\\ T_{n+1}(x)&=&2 x T_n(x)-T_{n-1}(x),\ldots(n=1,2,3...) \end{eqnarray}

递推关系在所有定义域下是一样的，于是最后我们就完整的给出了第一类切比雪夫多项式，

\begin{eqnarray} T_n(\cos{\theta})&=&\cos{n\theta},\quad|\cos{\theta}|\leq1\\ T_n(\cosh{\Theta})&=&\cosh{n\Theta},\quad\cosh{\Theta}>1\\ T_n(-\cosh{\Theta})&=&(-1)^n\cosh{n\Theta},\quad\cosh{\Theta}<-1\\ \end{eqnarray}