Grothendieck 时代的代数几何与在这之前的古典代数几何之间最大的区别是否就是范畴论的引入？

我觉得是的，感兴趣的话可以阅读 The Rising Sea: Grothendieck on Simplicity and Generality by McLarty ，或者我的这篇文章 The Roots of Scheme ，可以说没有范畴论就不可能有概型。

前面有答者说同调代数不是Grothendieck引入代数几何的。确实，第一个为代数几何引入同调理论的应该是Serre的论文FAC。也有答者说Grothendieck不是第一个发展同调代数的人。也确实，因为H. Cartan 的工作明显早于Grothendieck。那么Grothendieck这里的贡献到底是什么呢？我想说的是以上所有答者都不明白Grothendieck的Tohoku论文的真正意义，他们明显低估了这篇论文对Grothendieck未来研究方向的影响。

首先Weil猜想确实非常非常重要，是Grothendieck绝大部分想法的motivation。Serre在FAC里面为代数簇引入coherent sheaf的概念，同时发展了一些上同调理论。但你要注意，Serre这里的同调技术复分析的影子过于明显，而代数簇的分离性质明显差于多复变里面的情况，在多复变里面我们一般考虑流形，也就是分离性质都是假设得很好的，而代数簇至少不是Hausdorff的，因此他没法给出完整的长正合链，只有短短的几个项。而且，Serre在FAC里面采用的sheaf语言是etale space，也就是很传统地把sheaf看成是sections的参数空间，这真正处理起问题来是非常麻烦的，看过FAC的人都应该有这样的感受，里面很平凡的性质真正验证起来却很要命。

我还要提醒一点，EGA I里面Grothendieck说他反对把etale space作为对sheaf的定义，即使它们是等价的。为什么？原因很明显，这样的话sheaf的functorial性质全给掩藏了，这跟他在《收获与播种》里面回忆说反对用Cech上同调作为sheaf上同调的理由是一样的。而要注意，当时sheaf上同调基本就等于Cech 上同调。Grothendieck几乎无时无刻不在追求定义的普适性，只有普适的定义才能更反应研究对象的本质。同时代的数学家都在考虑代数闭域，即使是Nagata也是考虑了戴德金环，而Grothendieck偏偏要考虑最一般的交换环，对概型或者仿射概型的普适性定义没有范畴论是根本得不出来的。另外，Grothendieck当时脑子里出现的还不是现在这个概型，而是函子。他当时模糊的想法是把代数簇看成是一个可表函子，只是这个想法最开始没有作为最基础的定义，只是在FGA里面有所发展，但是从第二版的EGA I来看，他更喜欢的应该是可表函子的观点，这样来看范畴论难道不是必要的吗？

至于同调代数，Cartan他们确实先于Grothendieck发展了同调代数，但仅仅是在module范畴上的，这一般是够用了，至少对于本科生而言他只要知道这个情形就好了。但是abelian category的意义绝对不在于它是对module范畴的拙劣模仿，把事情变得更加复杂。而且，有了嵌入定理，每个abelian category都可以看成一个module范畴，那么我们还要abelian category干嘛？这样似乎就把Grothendieck在这方面的贡献远远降低了，但事实绝对不是这样的。

你以为Cartan没有发展过更一般的同调代数吗？他当然想找到一个更一般的同调代数理论，尤其是可以适合sheaf范畴的，当时sheaf的重要性不言而喻。但他没有成功，后来Buchsbaum把自己的一些想法讲给Cartan听，Cartan鼓励他继续做下去。另外，不仅仅法国那班人想这么搞，美国那边Maclane也这么想过，但后来最最成功的只有Grothendieck，而且他的abelian category比其他人的优越太多了。通过几个公理就可以完整地为sheaf理论建立起类似于过去的上同调理论是当时所有人都希望看到的。

在Grothendieck用导出函子重新定义的sheaf上同调里，我们有了过去没有的长正合链，在代数几何上这是Cech上同调做不到的，Cech上同调的优势只在于计算，在代数几何里面我们一般用Leray cover来计算上同调。而且，这样定义的上同调理论函子化性质是非常好的，你还可以自由地考虑是不是可以再给sheaf上面安上一个sheaf of groups的作用。从此sheaf上同调成为了上同调理论的典例。

那么abelian category的重要性到底在哪里呢？Johnstone在他的topos书里面说:

Incidentally, the Freyd-Mitchell embedding theorem is frequently regarded as a culmination rather than a starting point; this is because of what seems to me a misinterpretation (or at least an inversion) of its true significance. It is commonly thought of as saying "If you want to prove something about an abelian category, you might as well assume it is a category of modules"; whereas I believe its true import is "If you want to prove something about categories of modules, you might as well work in a general abelian category."

这里就是强调证明的范畴性质。对具体范畴性质的证明往往会用到元素，而元素是被范畴论排斥的，因此你想要尽可能地去理解一个具体对象的性质以及它的适用范围，你就应该尝试用范畴论(或仅仅是arrow)去证明它。abelian category为我们提供的是一种思想，一种思路，一种如何从具体范畴中抽象出性质的方法。这种思想后来不断地被借鉴。Tohoku里面另一个重点是上同调理论，这种导出函子形式的上同调理论极度依赖于resolution，不管是injective还是projective。表面上看，Tohoku的工作似乎非常成功，当然，确实如此，但是Grothendieck后期还是对此有所不满意，因为按他所认为Tohoku还是没有回答上同调究竟是什么的问题，它只是给出了上同调理论的一种形式，一种利用resolution以及导出函子的形式，这远远不是本质。

抽象同伦论在这方面的内容就可以说明这一点，比如导出函子的本质是什么？它可以避免resolution吗？事实上它可以通过导出范畴来定义。而这又说明了什么呢？这说明的是导出函子应该是一个同伦论不变量，它得分解进入同伦范畴/导出范畴。这样，只要我们抓住恰当的同伦信息，那就可以定义导出函子了，而不必需要resolution。这首先在模型范畴里面得到推广，得到Quillen的total derivedfunctor，然后又在homotopical category(虽然不具有模型范畴结构了但还有弱等价的概念)上面得到推广，变成了一个特殊的absolute Kan extension。这些从Grothendieck出发又走出了好远好远。

另外需要强调的是，Grothendieck在Tohoku里面的工作跟他后来的联系。SGA4/2其实基本上就是Tohoku的扩写，它是关于topos里的上同调理论。为什么呢？因为topos上的同调理论形式与Tohoku里面的一模一样。在Grothendieck topos那里，sheaf是定义在site上，而只要cover到位，原来函子化定义的上同调理论依旧适用，只要，把范畴约束到slice范畴上就可以了，因为这样可以得到terminal object，于是有了global section functor。而且Grothendieck topos里面的子范畴，即具有交换群结构的对象，它们就构成了abelian category，于是Tohoku里面的内容可以原样搬过来。这里的Grothendieck topos可以换成任何一个elementary topos。

再说范畴论对代数几何的影响。比如stack理论(主要起源自FGA跟SGA1)最合适的处理空间是2-category，因为在stack上面你一般得到的不是真正的相等，而只是等价或同构，君不见fibered category其实就是pseudo-functor。再接着论述的话就要扯到他后期的想法或工作了，这在pursuing stack里面，这也牵涉到了同伦理论，因此我们等会儿继续讲。

我们接着讲Grothendieck abelian category的抽象化给其他数学家的启发。在Grothendieck之后新的最成功的抽象化是Quillen的模型范畴，Quillen的这种公理化很难说没有参考过Grothendieck的工作，毕竟对Homotopical algebra那篇论文做出最大贡献的就是Kan在单纯集上的工作以及Verdier在导出范畴上的工作。导出得是在加性范畴或者阿贝尔范畴上进行的，但Quillen考虑的是一个更一般的问题，什么时候一个局部化范畴(category of fractions)是一个同伦范畴，也就是说我们怎么样才能说它具有同伦结构，还有什么时候我们才能说两个同伦理论等价。他的答案就是模型范畴，这个名字是后来人起的，寓意是一个同伦理论的模型。像Grothendieck的Tohoku那样，我们从模范畴到了阿贝尔范畴，这里我们从拓扑空间范畴或单纯集合范畴到了模型范畴，一个模型范畴它自然地具有一个同伦理论，就像一个阿贝尔范畴自然地可以嵌入到一个模范畴一样。

现在通过范畴论，代数几何跟同伦论开始汇合。从一个最基本的问题问题出发，高阶的上同调分类是怎么样的？1阶的可以用torsors，2阶的可以用gerbes with liens，这些都是stack，那么自然的想法就是高阶上同调需要高阶stack来分类。那么高阶的stack是怎么样的呢？stack的理论本质上是2-category的，因此higher stack就需要higher category，这就是Grothendieck在pursuing stack里主要思考的问题。在那里，他认为目前思考研究“基础”数学的数学家还是太少，他们不对那些更加基本的比如同调的本质、同伦的本质是什么，它们的基础是什么等问题感兴趣。而Grothendieck觉得目前这种同调跟同伦的基础远远不够，曾经以为Tohoku可以解决所有的，但后来还是发现这远远不够，这不是什么悲剧而是数学在进步，它在促使我们用更新进的语言去描述数学对象。至于同调的本质是什么这个问题，目前的抽象同伦或许可以管中窥豹。以代数几何里面非常常用的local cohomology为例子，M Bökstedt跟A Neeman的工作说明了这个局部上同调函子不外乎是一个Bousfield localization。同调其实可以很自然地跟范畴局部化联系起来，于是也就可以跟同伦理论联系起来。这种对同调的理解是跟Tohoku里不一样的，Tohoku里面其实就像Grothendieck所认为的更偏向于给出形式的可能性，而不在于解释本质。

从这里开始各种形式的高阶范畴应运而生。比如Simpson所使用的Segal category，他就在这种范畴上面建立了higher stack的理论。Joyal先引入了simplicial sheaf的概念，这被Jardine推广成了simplicial presheaf，通过对它的同伦结构的研究由此完成了高阶上同调的分类工作。这种形式的高阶范畴是 simplicially enriched category，记为S-category。然后B. Toen跟Gabriele Vezzosi在S-category上面发展了新的topos理论。受到这种topos理论以及Joyal的quasi-category启发的Lurie，在quasi-category上面发展出了同伦等价的但更加成熟的higher topos/stack理论。因此从这种范畴论意义上来说同伦代数几何才是Grothendieck代数几何的继承者。事实上，目前法国那边还是很关注Lurie的工作的(而Simpson跟Toen本身就是法国Nice-Toulouse学派的人)，从某种意义上说Lurie确实是Grothendieck式数学的继承人之一。