数论
代数几何

代数几何和数论的关系？

听说如果想学数论一定要学好学深代数几何，那他们之间到底有什么联系呢？
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13 个回答

不明白上面的回答为什么扯这么多玄乎的。实际上这个联系非常简单，数论要研究多项式方程的解，多项式方程定义了代数簇，所以研究方程就等价于研究代数簇。比如数论上要得到方程的整数解，就可以看成代数簇的rational points，许多重要的猜想都跟counting rational points有关，比如Mordell猜想和费马大定理，所以当然要研究代数几何。实际上，这个观点的转变是非常简单的，Grothendieck对代数几何观念的革命要比把数论转化成代数几何来研究这种必然的想法深刻得多。另一些猜想考虑over \mathbb{F}_p 的代数簇有多少个点，实际上也就是要数一数在有限域上的多项式方程有多少个解，这种问题就是最早学有限域时候经常遇到的习题。比如最基本的有Hasse定理，更深刻的是Sato-Tate猜想。Sato-Tate猜想的证明还要用Griffiths的工作来算family of Calabi-Yau varieties的monodromy，可以说连超越代数几何的想法都用上了，已经把代数几何用到了极限。但是初学者还是应该从数论出发，多学一点elliptic curve这种具体的数学，因为elliptic curve是复分析，数论和代数几何的交界处。每个数论学家都要懂一点点复分析和代数几何，因为你至少得知道什么是modular form。

我读过的数论上最好的科普文章是Mazur的Number theory as Gadfly，给出了费马大定理非常几何化的理解，本科生也可以看懂： math.stanford.edu/~lekh 。

等到你的数学学习更深入之后，你就会知道，不仅是数论会主动去和代数几何作用，代数几何上的一些理论也会自动地联系到数论。比如K3曲面的Gromov-Witten不变量的generating function有个非常漂亮的表达，只包含Eisenstein series G_2 和discriminant modular form。

不仅是代数几何，从mirror symmetry的角度看，辛几何也应该和数论有联系。这就需要考虑Fukaya category over commutative ring： arxiv.org/pdf/1211.4632 （这个文章有点小问题，作者们还在fix，主要是quasi-equivalence of A_\infty category over commutative ring的定义有问题）。另外，Ivan Smith证明了hyperelliptic curve的Fukaya category和pencil of quadrics的base locus的Fukaya category的nilpotent summand quasi-equivalent： Floer cohomology and pencils of quadrics ，是我们这个领域最美的工作之一。另一方面，Hyperelliptic curve和pencil of quadric的联系在数论上也被 Bhargava等人研究过： math.harvard.edu/~gross 。至于他们的文章跟Smith的文章有什么关系，就不是我所能说得清楚的了。我希望等到Lekili-Perutz的工作写严格之后，我可以考虑一下hyperelliptic curve的arithmetic mirror symmetry。

数论是很大的community。不同方向的数论会用到flavor很不一样的代数几何。


说几个我比较感兴趣的方向：

1. p-adic modular form & Hida theory

主要用到geometry of shimura variety，比如local model，integral model，compactification，以及local的Serre-Tate deformation之类。

为了研究Newton/EO strata，还会考虑stack of G-zips。现在还有一种趋势是用perfectoid space研究infinite level。

这个领域的文章大部分时候就是在做几何。当然经常要用到自守表示的input。


2. p-adic Galois representation

local表示需要做一些period ring上面的几何。比如glue，descent，extension。

local-to-global主要是利用同调代数。因为很难考虑“adelic”的空间。


3. Modularity

还有很重要的是研究deformation space的几何。基本上数deformation space的连通分支的个数都非常困难。

Kisin的一个办法是研究Kisin variety，它的几何更简单（可以看成是deformation space的resolution of singularity）。然后用ad hoc的办法数出联通分支的个数（比分对于两个ordinary 点，直接构造一个path连接它们）。

在高维的情况下现在只对ordinary或者fontaine-laffaille的情况几何知道的比较清楚。利用tensor product trick可以做potentially diagonalizable。


总结一下，代数几何随时都会用到。平时拿着它做各种归结和推导，但是最关键的input往往来自于自首表示（调和分析？）、同调代数、线性代数、群论表示轮。代数几何主要起到语言的作用，以及胶水的作用