请问代数数论领域的前景怎样？

感谢另一位匿名答主的纠错。原回答被指出的错误主要如下:

1.按二战时间顺序给数论分界。这里确实不妥。但是数论在国内的科普不多导致误解确实存在。很多大学生还以为数论仍然是解方程和素数公式。但数论实际已与诸多学科交叉。需要的基础知识非常多。

2.Scholze的工作，这自然还是Grothendieck的框架下作的，但是p adic Hodge的难度跟之前的Hodge不是一个量级。我不赞同一定要把Scholze跟格神之类比出个高低，算数几何大神太多。只摩拜一两个是不公平的。Hodge理论在复代数几何中的作用非常核心。所以可以预见p adic的Hodge理论一旦成熟，对p adic几何将非常重要，这是我选择提到Scholze的原因。

另外希望这种年轻人困惑的问题能有知乎更专业的人来答一下。而不是让我们这些外行来科普。这些知识对从业者是基本知识，但是对年轻人确实非常重要，能帮助他们决定走向的信息。

以下是原答案:

非数论专业。注意到题主找的是代数的导师，这里给题主提个醒，有可能题主心中的数论跟现在的数论研究有差别。下面讲讲我对数论的理解，供题主参考。

在(大约)二战之前，数论经过几千年的积累，基本形成两种方法。代数方法:主要集中在代数整数环和其扩张的研究，这种方法在Abel 扩张情形的集大成者是类域论。类域论可以解决很多数论的上古问题。另一种是解析数论，当然对象主要是黎曼zeta函数以及后来Artin发展的互反率(Gauss互反律的实质性推广)。

上述的数论已经发展成熟，而且有被更深刻的理论取代的趋势。建议题主事先了解导师是否从事的是上述的数论，如果是，那在基础数学发展中前途渺茫，在应用数学中(比如最近很火的比特币加密技术-椭圆曲线加密)应用有限但也不至于没有，我都一个同事就利用类域论方法解决了一些编码中的难题。

下面讲讲数论的新纪元，主要的人物是Grothendieck(将代数几何引入数论，并且改变了数论研究的范式)，Langlands(将表示论引入数论，提出Langlands纲领)，Peter Scholze(建立了p-adic几何的一个非常强大的框架，被称为21世纪数学大框架之一)。

现代的前沿数论已经不再简单地分为解析数论或者代数数论，他研究数的代数，数的几何，也研究数的分析，他甚至跟量子理论有奇怪的联系。黎曼的zeta函数被推广到了L函数，并且发现这种函数的性质跟数的几何不变量有神奇关系(千禧问题BSD猜想只是其中一个例子)。现在算术的几何理论发展很快，很多天才外星人都在里面，快速地吸收整个数学的新进展为己用。比如现在发展地火热的p adic Hodge理论(Scholze的主要工作之一)。就是希望把复几何中的Hodge理论在p adic几何中建立起来。换句话说，希望把千禧问题Hodge猜想的相关理论发展到p adic上。以现在数论的眼光，很多具体的数论问题都本质都蕴含在几何中(比如Weil猜想，表明丢潘图方程组模p^n解个数的规律的本质是方程对应的代数簇拥有一个好的上同调理论-类比于紧流形上的奇异上同调)。在另一方面随机矩阵和遍历论方法也被引入到L函数和自守形式的研究中。

可以看到这几年数论经常出现新方法和新观点，老问题被解决，新问题被提出。这正是一个分支发展黄金期的表现。所以题主如果进入的是现代数论，那唯一需要担心的是，自己能不能胜任。