n维流形的概念，在J.L.Lagrange的力学中已经初见端倪，十九世纪中期，已经知道n维Euclid空间是n个 实变量 的 连续统 ，但是一般n维流形的概念是B.Riemann研究 微分几何学 时引进的，他是用归纳法进行构造的。正如曲线的运动形成曲面一样，n维流形是把无限多个（n-1）维流形按照一维流形方式放在一起而形成的。流形的拓扑结构的研究与其局部理论的研究是同时开始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人应用的是解析方法，但是，Poincaré为了摆脱这种方法的困难与不利之处，将n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维Euclid空间同胚的邻域，并对之进行研究，从而开辟了组合拓扑学的道路。

n维流形M的边缘∂M是n-1维无边缘流形。紧的无边缘的连通流形称为闭流形，非紧的无边缘的连通流形称为开流形。存在连通的但非仿紧的拓扑流形。一维的这种流形称为长直线。

流形 流形反例

流形不必是连通的（整个只有一片），所以两个不相交的圆周也是一个拓扑流形。流形不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。流形也不必有限，所以抛物线这样的图形也是一个拓扑流形。

但是，我们排除了向两个相切的圆（它们共享一点并形成8字形）的例子；切点的附近任意小的一部分都不同胚于欧式空间的任何一个开集。