\begin{equation}
\varphi_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left [a_n\left(\frac{r_p}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos\theta) + A_n\left(\frac{R_p}{R}\right)^{n+1}P_n(\cos\Theta)\right ]
\label{elecpot}
\end{equation}

式中两个勒让德多项式可以彼此展开：

\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta), r \lt S
\label{reexpansion1}
\end{equation}

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^kP_k(\cos\Theta), R \lt S
\label{reexpansion2}
\end{equation}

上述再展开的证明，见 J. Electrost 36, 195 ，过程如下：

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从罗巨格公式推导勒让德多项式的递推关系

作者: 瞿立建

时间: January 5, 2018

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分类: 教学笔记

原文链接： Properties of Legendre Polynomials

半径为 $a$ 的球内定态温度分布为 $u(\vec{x})=u(r,\theta)$，满足 拉普拉斯方程

\begin{equation}
\nabla^2u=0
\label{laplace}
\end{equation}

控制球表面上温度为

\begin{equation}
u(r=a,\theta)=f(\theta)
\label{boundary}
\end{equation}

球内温度如何分布？

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rising sun : 老师，建议添加如果从（0，0）直接走到（1，1）的第三条路径

jiawen : 为什么这个榜单很不全，有的学校没有

JyZ : 你好，我最近尝试解三维周期性PNP遇到了些困难暂时无法解决，方便...

杜江玮 : 老师，您好！我想问一下，第一行中的Fourier变换的基函数ex...

小文 : 博主您好，这篇博文貌似没有附上图片。

王先生 : 非常感谢您的回复，我目前正在支持国内一个新百科项目——识典百科。...

瞿立建 : 谢谢你能写维基百科。我早就退出了。我大约是2013年开始写维基百...

瞿立建 : 谢谢唐老师的告知

王先生 : 您好，在维基上看到您参与了很多物理、数学和化学领域条目的编辑，想...

陈婧乐 : 您好，想问下您算出来了吗，我最近也在算这个，卡住了，打扰您，不胜感激

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