2、 n为质数， φ（n） = n-1;

3、 n是 某个质数的幂次 φ（pk） = pk - pk-1 = pk*(1 – 1/p)

证：这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

φ（8） = 23 - 22 = 4；

4、 n可以分解为两个 互质 数的积， φ（p1*p2） = φ（p1）*φ（p2）（p1, p2 为质数， 以下同，不在赘述）;

如 φ（56） = φ（7）*φ（8） = 4*6 = 24；

5、 把n进行 质因分解 ， 得到n = p1a1*p2a2*p3a3*p4a4……pkak

由（4）得 φ （n）= φ（p1a1）*φ（p2a2）*φ（p3a3）*φ（p4a4）……φ（pkak）

由（3）得 φ（n） = p1a1*(1 - 1/p1)*p2a2*(1-1/p2)*p3a3*(1 – 1/p3)*……*pkak*(1 – 1/pk)

6、 由5结果得求欧拉函数的基本公式

φ（n）= n* (1 - 1/p1)*(1-1/p2)* (1 – 1/p3)*……*(1 – 1/pk)

特殊性质 ：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

a与n互质，aφ（n）≡ 1 (mod n)

当n为质数时有 费马小定理

ap-1≡ 1 (mod p)

欧拉定理的推广——有关的 高次幂取模 （ 指数循环节 ）

公式： ax mod(c)=a(x mod phi(c) +phi(c)) mod(c)， (x>=phi(c))           注：(phi==φ)

欧拉函数代码

const int MAXN = 1e6;//打表的范围
  int prime[MAXN+10], cnt = 0;
   int a[MAXN+10];
 void init(){//素数筛
      for(int i = 2; i <= MAXN; i++) a[i] = true;
     for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
         if(a[i]){
              prime[++cnt] = i;
         for(int j = 1; j <= cnt; j++){
             if(prime[j]*i > MAXN) break;
             a[prime[j]*i] = false;
             if(i%prime[j] == 0) break;
 int Euler(int n){//欧拉函数
     int ans = n;
     for(int i = 1; i <= cnt && prime[i] <= n; i++){
         if(n%prime[i] == 0){
             while(n%prime[i] == 0){
                 n /= prime[i];
             ans = ans/prime[i]*(prime[i]-1);
     return ans;
                    简单总结一下最近学习的欧拉函数欧拉函数定义：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目，记作φ（n）。1、φ（1） = 1；2、n为质数， φ（n） = n-1;3、 n是某个质数的幂次 φ（pk） = pk - pk-1 = pk*(1 – 1/p)证：这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2...
n 分解质因数后：n=p1a1 × p2a2 × p3a3 … pkak，（其中 pi 为质数）
那么 φ(n) = n × (1 - 1/p1) × (1 - 1/p2) ×… ×(1 - 1/pk)
公式证明：
1.从1—n中去掉p1,p2…pk的的倍数；
2.加上所有pi 
				
欧拉函数：对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。
欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。
				
欧拉函数：
就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。
欧拉函数的通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn)
其中p1, p2……pn为n的所有质因数，n是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
所以，根据通式我们可以打出以下代码：
ll eular(ll n)
初步认识：
在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格1.
其中p1, p2...
　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则 φ(1
				
欧拉函数：φ(n)表示从1~n-1中有多少个数与n互素。 φ(1) = 1
欧拉函数的通项公式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn)，其中pi为n的质因数
求单个数欧拉函数
long long eular(long long n)
    long long ans = n;
    for(int i = 2; i*i <...
### 回答2：
欧拉函数（Euler's totient function）是一个计算小于等于给定正整数n的所有与n互质的正整数的个数。以下是用Matlab实现欧拉函数的代码：
```matlab
function euler = euler_function(n)
    euler = n;  % 将结果初始化为n
    p = 2;  % 从最小的素数2开始
    while p * p <= n  % 当p的平方大于n时结束循环
        if mod(n, p) == 0  % 若n能整除p
            euler = euler - euler / p;  % 将结果减去n除以p的值（贡献）
            while mod(n, p) == 0  % 如果n继续能整除p，则继续除以p
                n = n / p;
        p = p + 1;  % 继续查找下一个素数
    if n > 1  % 若n不为1，则n是一个大于sqrt(n)的质数
        euler = euler - euler / n;  % 将结果减去n除以n的值（贡献）
这个函数接受一个正整数n作为输入，并返回n的欧拉函数值。函数首先将结果初始化为n，然后从最小的素数2开始，一直遍历到sqrt(n)为止。如果n能被p整除，它将以p的贡献减少结果。然后继续查找下一个素数。最后，如果n不等于1，则n是一个大于sqrt(n)的质数，将其贡献减少结果。
希望以上的代码可以满足你的需求。  
### 回答3：
欧拉函数是数论中一个重要的函数，用于计算小于n且与n互质的正整数的个数。欧拉函数的公式为：φ(n)=n×(1-1/p1)×(1-1/p2)×⋯×(1-1/pk)其中p1,p2,...,pk是n的所有质因数。
下面是求欧拉函数的MATLAB代码：
```matlab
function result = euler_phi(n)
    result = n;
    for i = 2 : round(sqrt(n))
        if (n % i == 0)
            result = result * (1 - 1/i);
            while (n % i == 0)
                n = n / i;
    if (n > 1)
        result = result * (1 - 1/n);
在这段代码中，我们首先将结果初始化为n。然后从2到sqrt(n)遍历，如果n能被i整除，则说明i是n的一个质因数。这时，我们将结果乘以(1-1/i)，然后不断将n除以i直到n不能再被i整除为止。最后，如果n大于1，说明n本身也是一个质因数，我们将结果乘以(1-1/n)。
这段代码可以在MATLAB中调用，例如：
```matlab
n = 12;
result = euler_phi(n);
disp(result);
这样就可以得到12的欧拉函数值。