四、
齐次线性微分方程的幂级数解法
[
具有幂级数形式的解
]
一般变系数的齐次线性微分方程，不一定能找到用初等函数表示的解，这时可以考虑求具有幂级数形式的解
.
现以二阶齐次线性微分方程为例说明解法（高阶方程同样适用）
.
设
其中
和
在
可展成幂级数
.
要求方程在
附近的解，只要先假定这个解具有幂级数形式
然后形式地算出所需的各阶导数，代入原方程变成恒等式，确定待定的系数
从而得出所求的幂级数解
.
如果
，
在
不能展成幂级数，比如是
x
的有理分式，而分母在
等于零，这时可试求具广义幂级数形式
的解，其中
a
和
都是待定常数
.
[
求勒让德方程的解
]
方程
称为勒让德方程，它的解称为勒让德函数
.
在
x
=0
附近，方程的系数可以展成幂级数，令
代入原方程，可以定出两个线性无关解
所以勒让德方程的通解为
式中
A,B
是任意常数，
是高斯超几何级数
.
若
n
为整数，则
与
中有一个为多项式，另一个仍然是无穷级数
.
适当选取任意常数
A,B
,
使当
x
=1
时，多项式的值为
1
，这个多项式称为勒让德多项式，记作
，它属于第一类勒让德函数
.
另一个则与
线性无关，它是无穷级数，记作
，属于第二类勒让德函数
.
此时，勒让德方程的通解为
式中
A,B
为任意常数
.
[
求贝塞耳方程的解
]
方程
称为
v
阶贝塞耳方程，式中
v
为任意实数（或复数），它的解称为贝塞耳函数
.
因方程系数
,
在
x
=0
不能展成幂级数，而是
x
的有理分式
.
令
代入原方程，令
x
各次幂的系数等于零，得
，先取
=v
，得
，得贝塞耳方程的一个特解，记作
它称为
v
阶第一类贝塞耳函数
.
取
，得另一特解
当
v
不为整数时，这两个特解线性无关，此时贝塞耳方程的通解为
式中
A,B
是任意常数
.
当
v=n
为整数时，
与
线性相关
.
此时记
它也是贝塞耳方程的一个解，而且与
