二项分布- _小百科

二项分布的解析

二项分布用符号b(x．n．p)，表示在n次试验中有x次成功，成功的概率为p。

二项分布的概率函数可写作：

b(x．n．p)= $C_n^xp^xq^{n-x}$

式中x＝0、1、2、3．．．．．n为正整数

两项分布中含有两个参数n与p，当它们的值已知时，便可计算出分布列中各概率的值。

例1 掷硬币试验。有10个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是多少?

解：根据题意n＝10，p＝q＝1/2，x＝5

b(5、l0、1/2) = $C_{10}^5 P^5 q^{10-5}$

= 0．24609

所以五次正面向上的概率为0．24609

此题若问五次及五次以上正面向上的概率是多少?

解：此题要求出五次及五次以上正面向上的概率之和。正面有五次、六次、七次、八次、九次、十次。依公式5—10应为：

= 252/1024+210/1024+120/1024+45/1024+10/1024+1/1024

= 638/1024

= 0．623

五次及五次以上正面向上的概率为0．623

此题各项展开式的系数，若用杨辉三角计算也十分方便。读者：前面的杨辉三角写到 $(p + q) 10$ 。试比较五次及五次以—LK面向；的各项系数是否为252、210、120、45、10、1。

[ 编辑 ]

二项分布的性质

(一)二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。

1．当p＝q时图形是对称的

例2 $(p + q) 6$ ，p=q＝1/2，各项的概率可写作：

$p 6 + 6 p 5 q + 15 p 4 q 2 + 20 p 3 q 3 + 15 p 2 q 4 + 6 p l q 5 + q 6$

= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64

2．当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。

(二)二项分布的平均数与标准差

如果二项分布满足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质：

$μ = n p$ (5—10a)

$\sigma=\sqrt{npq}$ (5—10b)

即x变量具有 $μ = n p$ , $\sigma=\sqrt{npq}$ 的正态分布。

式中n为独立试验的次数，

p为成功事件的概率，q＝1- p。由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用 $μ$ 和 $σ$ 而不用X和S表示。它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数 $μ = n p$ ，成功次数的分散程 $\sigma=\sqrt{npq}$ 。例如一个掷10枚硬币的试验，出现正面向上的平均次数为5次( $μ$ = np＝ $1/2\times10$ )，正面向上的散布程度为10×（1/2）×（1/2）＝ 1．58(次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1．58。