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积分学

复习广义积分

复习广义积分的知识.

反常积分是覆盖无界区域的定积分。

一类反常积分是至少有一个端点被无限延伸的积分。例如：

\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx

另一种反常积分是端点有限的积分，但积分函数在一个(或两个)端点处是无界的。例如，

\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx

不是无限的无界区域？！这是真的吗？是哒！不是所有的反常积分都有一个有限的值，但其中一些确实有。当极限存在时，我们说积分是 收敛的 ，当它不存在时，我们说它是 发散的 。

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例如，让我们计算反常积分

\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx

\begin{aligned} \displaystyle\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\int_1^b x^{-2}\,dx &=\left[\dfrac{x^{-1}}{-1}\right]_1^b &=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^b &=-\dfrac{1}{b}-\left(-\dfrac{1}{1}\right) &=1-\dfrac{1}{b} \end{aligned}

现在我们去掉了积分，并且需要找到一个极限：

\begin{aligned} \displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{b}\right) \end{aligned}

问题1.1

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^3}\,dx=?

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例如，让我们计算反常积分

\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx

\begin{aligned} \displaystyle\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\int_a^1 x^{^{\large -\frac{1}{2}}}\,dx &=\left[\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}\right]_a^1 &=\Bigl[2\sqrt x\Bigr]_a^1 &=2\sqrt 1-2\sqrt a &=2-2\sqrt a \end{aligned}

现在我们去掉了积分，并且需要找到一个极限：

\begin{aligned} \displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\lim_{a\to 0}(2-2\sqrt a) &=2-2\cdot 0 \end{aligned}

问题2.1

\displaystyle\int_{0}^{8}\dfrac{1}{\sqrt[\large 3]{x}}\,dx =?

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