同伦论的未来 Clark Barwick
原文链接： The Future of Homotopy Theory by Clark Barwick 。
我并不希望这篇文章会被看作是出于我对该领域傲慢信念的“宣言”。相反，我是出于担忧同伦论这一我所喜欢的数学原则的健康状态而写就此文的，我相信该学科未来的领袖们会纠正目前该学科结构性的错误。 [1]
同伦论的毛病很容易就能被发现：
1、我们领域最杰出的论文登不上数学领域的顶尖期刊。这导致了其他领域的数学家认为同伦论只具有次级或者次次级的重要性。如果我将目光望向近期顶尖的五个数学期刊上的文章 [2] ，那里关于同伦论的文章惊人地稀少。而另一方面，那里却有很多关于辛拓扑和数论的文章，它们的数量远远超出了我们各自学科相对规模所能解释的范围。我不相信这是因为我们同伦论领域不够高产，不够重要，不够有用，不够与数学相关，相反从这里我看到了两点原因：
(a)：现实中同伦论学者没有担任顶尖数学期刊编辑人的代表。我们领域的元老们根本就不会在排名前五的数学期刊中任职。因此我们这些想要在顶尖期刊上发表文章的同伦论学者经常接收到充满了巨大误解的审核报告，因为编辑将我们的文章发送给了对我们领域一无所知的审核人。 [3]
(b)：年轻人得不到有效的建议。Dan Kan 曾告诉我：“把你的文章投递给你认识的编辑，不要去担心类似于期刊名声这样的没意义的事情。” Dan他真的是个友爱和善的人，他的建议总是出于好意，但这句话却是错误的。我们领域最杰出的青年研究员之一，他近期证伪了有色同伦论 (chromatic homotopy theory) 中长期未解的猜想，他告诉我他们从未有过将论文投递给综合数学期刊的想法。他们被年长的同行建议将论文发在Geometry&Topology期刊上，他们跟着做了。这真荒谬！在任何领域，一篇如此重要的文章就应该发表在Annals或者Inventiones上，那里才是它应该呆的地方！实际上，这些年长者是在帮助同伦论边缘化，他们不让我们领域最好的论文发表在最顶尖的数学期刊上，而把空位让给了数论、分析和辛拓扑领域的优秀论文！
2、不管是我们这门学科它自身，还是它跟其他领域的关系都没有被广泛地理解。我们中的一些人称自己为代数拓扑学家 [4] ，但这无助于将该学科变成拓扑领域的分支，其实我觉得这个描述是非常不准确的，只是碰巧的是，历史上第一种去模拟同伦思想的方法便是去寻找一组特殊的拓扑空间。 [5] 如今，同伦论在拓扑学里面的实践不比它在算术几何或者范畴论中的多，它同其他数学领域比如表示论的联系也在飞速增长 。同伦论绝对不是拓扑学的分支！这非常重要，因为只要还将同伦论安置在拓扑学的名下，那么那些被认为有能力评价我们工作的人就会做出错误的判断来，这个负面影响在发表文章、寻找工作、求助资金上是真实不虚且持续着的。
3、我们领域没有提出问题或者猜想的文化氛围。我们领域的大拿通常不会按照惯例去提出问题，或者一整套纲领猜想来帮助塑造我们领域未来几年的样貌。事实上，在大多数情况下，他们只是宣布了某些结果，一般只有证明的概要，也没有发表出完整的证明。之后，当其他人尝试去发展这个证明的时候，他们不会对外宣称说解决了某某问题，相反他们总是说完善了某某的证明，或者说给出了某某理论的新证明方法。这类似于种姓制度的僵化——其中一个群体拥有普遍的想法和愿景，而另一个群体则努力实现这种愿景 [6] ——这无助于整体的蓬勃发展。其他的数学领域也不乏位居高位有远见的人 [7] ，他们在细节上也并不比我们领域的人来得粗略，但是他们未经证明的见解却依旧被认为是猜想、问题或纲领。
4、在相关方面，我们对我们领域工作的评价并不符合一般的良好标准。推荐信、审核报告以及其他形式的反馈用些微的赞美把我们研究员的工作说得一团糟。我觉得这并不是没有原因的，它是一种错误地想要表现诚实的结果，在同伦论领域中坚持非常高的标准，并避免过度陈述自己的状况。这似乎也源于同伦论学者之间特殊的谦恭之情，觉得纯同伦论的东西确实不如其他学科比如纯数论来得有趣。
5、我们中的一些人 [8] 几乎是本能地在几个基础的点上争吵，把我们已经很小的团体分割成了更小的圈子。 [9] 这导致一些圈子里的人几乎完全不知道使用“其他”的基础工具去工作，或者可能他们是已经意识到了的，但却不屑一顾。多视角确实能对同伦论的发展有所帮助，但派系之争却只会对它有害。
只列出问题所在却不给出可行的解决方案，这是不被接受的。下面是一些我们该采取的具体的措施：
1、我们需要彼此鼓励对方 [10] 将好的论文投递给好的期刊。简短地说就是，我们将收到一堆漂亮的拒绝信。但我相信，除非我们确实如上所做，否则我们将不可能让大家都知道我们的工作。
2、我们需要停止将自己看成是拓扑学家。我们中的一些人从拓扑学来到了同伦论，但也有其他人来自代数或者数论，甚至来自表示论。我们需要申明，同伦论在数学中占据比拓扑学孤立分支更加中心的地位，同样我们也需要去证明跟其他领域里的问题密切相关的定理。尤其地，我认为我们需要寻找一个同伦的工具可以发挥巨大作用的领域。
3、我们需要就我们写信的质量互相提供反馈。我认为我们需要为我们的学生和博士后提供具体地培训，教他们如何更好地为各个层次的申请人辩护。
4、我相信我们应该写出更好的教科书来训练真正属于同伦论领域的年轻人，而真正的同伦论是关于发展能够巧妙地处理本质上带有同伦结构的对象的策略的。 [11] 这些教科书将拥有如下作用，它们不仅对我们领域内刚开始他们职业生涯的人有用，还可以帮助很多非我们领域的专家来了解这个学科。
5、我们需要阅读得更多，阅读得更好。我们应该花大量的时间来对我们本领域和相邻领域的工作有一个细致的了解。在职业生涯的前期，我们有足够的理由沉迷于自己的工作 [12] ，但之后数学家们就应该贪婪地去阅读文献，而且我们还应该联系我们所阅读的论文的作者，跟他们交流我们阅读时碰到的问题、建议、想法、计算和应用，而不单单局限于指正错误和抱怨。我们应该彼此努力去发展一个更广泛的数学理解基础，同时我们也应该明确地去寻求拥有我们自己的见解和策略，拥有在其他数学团体里的巨大影响力。
6、我们也需要写得更多，写得更好。我们应该写信交流彼此的想法 [13] ，也应该写信交流我们同行们的想法。我们应该公开地、以书面形式庆祝那些可能与我们很不同的写作团队取得的进步。
2017年8月 爱丁堡 Clark Barwick
参考
- ^ 早些年我私下里传阅了这篇随笔，从那时起结合我所收到的有效的建议，我对它进行了略微的修改。
- ^ 就我所认为的有 Journal of the AMS, Inventiones, Annals, Acta 和 Publication of the IHES。
- ^ 我认为我们所有人应该都有类似的经历。
- ^ 不包括我。
- ^ 我认为同伦论作为相等概念的补充，致力于研究结构甚于性质。尽管该思想如此精简而抽象，它很快就影响到了所有具有非平凡结构的对象。
- ^ 应该把那些论文用下面这句来自我同事的话拒绝掉，“由某某的工作，在合适的条件下，这个理论是显然可能的。”
- ^ 例子有 Kontsevich, Deligne, Langlands。
- ^ 在很多情况下，我得羞愧地承认，我自己便是如此。
- ^ 这让人想起上个世纪六十年代嬉皮士的故事，他们可能会因诸如蜂蜜算不算素食而争论不休。
- ^ 还有我们的学生，如果合适的话。
- ^ 尤其，现在已经到了丢掉那些将同伦论视为代数拓扑松软分支的教科书的时候了！
- ^ 当有教职压力的达摩克利斯之剑悬挂于年轻人的头顶时，期待他们能够像天主教徒一般去阅读文献，这是很不合理的。
- ^ 不是一次，而是多次。