Beta函数与Gamma函数基本性质简介

秋知桦

修合无人见，存心有天知。

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Beta函数

\mathrm{B}(p, q)=\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x
\mathrm{B}(p, q)=\frac{q-1}{p+q-1} B(p, q-1), p>0, q>1

简单做一次分部积分不够，怎么会是呢？原来，分部之后次数之和是不变的！做一个简单拆分后即可。

\mathrm{B}(p, q)=2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2 p-1} \varphi \sin ^{2 q-1} \varphi \mathrm{d} \varphi
\mathrm{B}(p, q)=\int_{0}^{1} \frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} \mathrm{~d} t

Gamma函数

\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty} x^{s-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x,s > 0
\Gamma(s+1)=s \Gamma(s), s>0

分部积分一次即可。特别的，注意到 \Gamma(1)=1 ,知 \Gamma(n+1)=n!
\Gamma(s)=2 \int_{0}^{+\infty} t^{2 s-1} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t ,由此可知 \Gamma(1/2)=\sqrt\pi

做x=t^2代换即可。
\Gamma(s)=\alpha^{s} \int_{0}^{+\infty} t^{s-1} \mathrm{e}^{-a t} \mathrm{~d} t

做x=αt代换即可。

Beta函数与Gamma函数的关系

\mathrm{B}(p, q)=\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}, \quad p>0, q>0

\begin{aligned} \Gamma(p) \Gamma(q) &=4 \int_{0}^{+\infty} s^{2 p-1} \mathrm{e}^{-s^{2}} \mathrm{~d} s \int_{0}^{+\infty} t^{2 q-1} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t \\ &=4 \iint_{\Omega} s^{2 p-1} \mathrm{e}^{-s^{2}} t^{2 q-1} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} s\mathrm{~d}t\\ &=4 \iint\limits_{0 \leqslant r<+\infty,\\0 \leqslant \theta<+\infty} r^{2(p+q)-1} e^{-r^{2}} \cos ^{2 p-1} \theta \sin ^{2 q-1} \theta \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta \\ &=\left(2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2 p-1} \theta \sin ^{2 q-1} \theta \mathrm{d} \theta\right)\left(2 \int_{0}^{+\infty} r^{2(p+q)-1} \mathrm{e}^{-r^{2}} \mathrm{~d} r\right) \\ &=\mathrm{B}(p, q) \Gamma(p+q) \end{aligned}

Legendre公式

\Gamma(s) \Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2 s-1}} \Gamma(2 s)

\begin{aligned}