引言
理解顾客行为在任何工业领域都是至关重要的，直到去年我才意识到这个问题。当时我的CMO（chief marketing officer,首席营销官）问我：“你能告诉我，我们新产品的目标用户应该是什么群体呢？”
这对我来说是一个学习的过程。我很快意识到，作为一个 数据科学 家，将顾客细分以便于公司能够进行客户定制并建立目标策略有多重要。这就 聚类 概念能派上用场的地方！
用户分类通常很棘手，因为我们脑海当中并没有任何目标变量。我们现在正式踏入了无 监督学习 的领域，在没有任何设定结果的情况下来发掘模式和结构。这对 数据科学 家来说是充满挑战但却是让人激动的事。
在这里有几种不同的 聚类 方法（你会在下面的部分看到）。我将向你介绍其中一种——层级 聚类 。
我们将会学习层级 聚类 是什么，它优于其他 聚类 算法的地方，不同层级 聚类 的方式以及开展的步骤。我们在最后会采用一个顾客 分类数据 库并实现Python的层级 聚类 。我喜欢这个方法并且十分确定在你读完本文之后也会喜欢上的！
注释：如上所述， 聚类 的方法很多。我鼓励你查看我们对不同类型 聚类 所做的指南：
- An Introduction to Clustering and different methods of clustering
https://www.analyticsvidhya.com/blog/2016/11/an-introduction-to-clustering-and-different-methods-of-clustering/utm_source=blog&utm_medium=beginners-guide-hierarchical-clustering
想要学习更多关于 聚类 的内容和其他 机器学习 算法（监督和无监督）可以看看下面这个项目-
https://courses.analyticsvidhya.com/bundles/certified-ai-ml-blackbelt-plus?utm_source=blog&utm_medium=beginners-guide-hierarchical-clustering
目录
1. 监督vs 无 监督学习
2. 为什么要用层级 聚类 ？
3. 什么是层级 聚类 ？
4. 层级 聚类 的类型
（1） 聚合式（Agglomerative）层级 聚类
（2） 分裂式（Divisive）层级 聚类
5. 层级 聚类 的步骤
6. 在层级 聚类 中如何选择类的数量？
7. 利用层级 聚类 解决一个批发顾客 分类问题
监督vs无 监督学习
在我们深入学习层级 聚类 之前，理解 监督学习 和无 监督学习 之间的差异是十分重要的。让我用一个简单的例子来解释这种差异。
假设我想要估计每天将被租借的自行车数量：
或者，我们想预测在泰坦尼克号上一个人是否生还：
在这两个例子当中都有一个固定的目标要实现：
- 在第一个例子当中，要基于像季节、假期、工作日、天气、温度等特征来预测自行车租用数量。
- 在第二个例子中要预测乘客是否会生还。在“生还”变量中，0代表这个人未生还，1代表这个人活了下来。这里的自变量包括客舱等级、性别、年龄、票价等等。
所以说，当我们有目标变量的时候（在上述两个例子当中的数量和生还），基于一系列预测变量或者自变量（季节，假期，性别，年龄等）来预测，这种问题叫做 监督学习 问题。
让我们看看下面的图以便更好地理解它：
在这里，y是因变量或者叫目标变量，X代表自变量。目标变量依赖于X，因此它也被叫做一个因变量。我们在目标变量的监督下使用自变量来训练模型，因而叫做 监督学习 。
我们在训练模型时的目标是生成一个函数，能够将自变量 映射 到期望目标。一旦模型训练完成，我们可以把新的观测值放进去，模型就可以自己来预测目标。总而言之，这个过程就叫做 监督学习 。
有时候我们并没有任何需要预测的目标变量。这种问题没有任何外显的目标变量，被叫做无 监督学习 。我们仅有自变量。
我们试图将全部数据划分成一系列的组。这些组被叫做簇，这个过程叫做 聚类 。
这种技术通常被用于将总体 聚类 成不同的组别。常见的例子包括顾客分群、 聚类 相似的文件、推荐相似的歌或者电影等等。
现在有很多算法可以帮助我们完成 聚类 。最常用的 聚类 算法是K-means和层级 聚类 。
为什么要采用层级 聚类 ？
在此之前，我们需要先知道K-means是怎样工作的。相信我，这会让层级 聚类 的概念变得更简单。
这里有一个对K-means算法如何工作的概览：
1． 决定簇的数量（k）
2． 选择k个随机的点作为中心点
3． 将所有的点纳入最近的中心点
4． 计算新形成的簇的中心点
5． 重复步骤3和4
这是一个迭代的过程。它将持续地运行，直到新形成的簇的中心点不再变化，或者到达了最大迭代次数。
但是K-means也受到了一些质疑。它通常试 图生成 规格相同的簇。还有，我们需要在算法开始之前就决定好簇的数量。理想情况下，我们在算法开始时不知道要多少簇，因而这也是K-means所面对的一种质疑。
这也恰恰就是层级 聚类 的优越之处。它解决了预先设定簇的数量的问题。听起来就是在做梦！所以，让我们看看层级 聚类 是什么以及它是怎样改进K-means的。
什么是层级 聚类 ？
我们有以下的一些点，我们想把它们 聚类 ：
我们可以把每个点作为单独的簇：
现在，基于这些簇的相似性，我们可以把最相似的簇放到一起，并且重复这个过程直到剩余单一的簇：
我们有必要建立一个簇的层级，这就是为什么这个算法叫做层级 聚类 。我们将在下一部分讨论如何决定簇的数量。现在，让我们看看不同类型的层级 聚类 。
层级 聚类 的类型
这里有两种主要的层级 聚类 ：
1. 聚合式层级 聚类
2. 分裂式层级 聚类
让我们来详细理解一下每一种：
聚合式层级 聚类
把每个点归于单独的一个簇。假设这里有四个数据点。我们把每个点分到一个簇里，在开始时就会有四个簇：
然后，在每一轮迭代中，我们把最相似的点对进行融合，然后重复上述步骤直到只剩单一簇：
每一步我们都在融合（或者增加）簇，对吧？因此，这种 聚类 也叫作累加层级 聚类 。
分裂式层级 聚类
分裂式层级 聚类 则是一种相反的思路。与一开始划分n个簇（n个观测值）不同，我们开始时只有一个簇，并且把所有的点都纳入这个簇。
所以，我们有10个或者1000个点并不重要。所有的点在一开始都在同一个簇中：
现在，在每一次迭代中，我们把簇中最远的点分离出来，并且重复上述过程直到每个簇都只有一个点：
我们每一步都在分裂（或划分）簇，因此叫做分裂式层级 聚类 。
聚合式 聚类 被广泛应用于工业当中，在本文当中也将重点关注。一旦我们掌握了聚合式，分裂式层级 聚类 也将变得非常简单。
层级 聚类 的步骤
我们在层级 聚类 当中把最相似的点或类进行融合——我们已经知道这一点。现在问题是——如何决定哪些点相似哪些点不相似呢？这才是 聚类 当中最重要的问题之一！
这里有一种计算相似性的方式——计算簇中心点之间的距离。距离最近的点被认为是相似的点，我们可以融合它们。我们可以把这个叫做基于距离的算法（因为我们计算了簇之间的距离）。
在层级 聚类 中有一个临近矩阵（proximity matrix）的概念。这个矩阵存储了每对点之间的距离。让我们来用一个例子来理解这个矩阵和层级 聚类 的方法。
例子
假设一个老师想把她的学生分成不同的组。她有每个学生在一次作业当中所取得的分数，基于这些分数，她想把学生分成不同的组。这里没有关于分组的固定的目标。因为老师并不知道哪种学生应该分配到什么组，它不能用 监督学习 问题来描述。所以，我们将使用层级 聚类 把学生分成不同的组。
我们的例子有5个学生：
创造一个邻接矩阵
首先，我们创造一个邻接矩阵，这个矩阵会告诉我们这些点之间的距离。我们计算了每两个点之间的距离，会得到一个n*n的方形矩阵（n是观测值的数量）。
让我们来看一看这五个点之间的邻接矩阵：
这个矩阵的对角线永远是0，因为每个点到自己的距离总是0。我们将使用欧氏距离公式来计算剩下的距离。所以，让我们来看看我们想计算的点1和2之间的距离：
√(10-7)^2 = √9 = 3
类似地，我们可以计算所有点之间的距离，并且填充这个邻接矩阵。
步骤
第一步：首先，我们将所有的点归于一个簇：
不同颜色表征不同的簇。你可以看到数据中的5个点构成了五种不同的簇。
第二步：接下来，在邻接矩阵中找到距离最短的点，并且把这些点融合。然后更新邻接矩阵。
在这里，最小的距离是3，因此把点1和2进行融合：
让我们看看更新后的簇并且相应地更新邻接矩阵：
在这里，我们取了两个点（7,10）中的最大值来代替这个集群的标记。我们也可以用最小值或者平均值代替。现在，我们将再一次计算这些簇的邻接矩阵：
第三步：重复步骤2直到只剩下1个簇。
我们先看邻接矩阵当中的最小值，然后融合簇中最接近的一对。我们在重复上述步骤之后将得到以下融合的簇：
我们开始有5个簇，最后只有一个单一的簇。这也就是聚合式层级 聚类 的工作方式。但是棘手的问题仍然存在——怎么决定簇的数量呢？让我们看看下一部分。
在层级 聚类 中，我们应该怎样选择簇的数量呢？
准备好回答这个从开始就一直在提的问题了吗？为了获得层级 聚类 的数量，我们使用了一个叫树状图的绝妙概念。
树状图是一个树形图表，能够记录融合或分裂的顺序。
让我们回到老师-学生的例子。无论何时融合两个类，一个树状图都会记录这些类之间的距离并且以图的形式进行表征。让我们看看树状图是什么样的：
我们把样本放到x轴，距离作为y轴。无论两个簇何时融合,我们都将加入树状图内，连接点之间的高度就是这些点之间的距离。让我们来建立例子的树状图：
需要花点儿时间来加工上述图片。我们开始融合了样本1和2，这两个点之间的距离是3（指的是在上一部分出现的第一个邻接矩阵）。让我们来把它放到树状图上：
在这里，我们可以看看融合的样本1和2。垂直的线代表两个点之间的距离。相似的，我们把融合簇的所有步骤画到图上，最后可以得到如下树状图：
我们可以清晰地把层级 聚类 的步骤进行可视化。垂直线的距离越长，簇之间的距离越远。
现在，我们可以设置一个距离阈限，并画一条水平线（一般的，我们会用这种方式来设置阈限，它会切断最常的垂直线）。让我们设置阈限为12，然后画一条水平线。
类的数量是与阈值先相交的垂直线的数量。在上述例子里，因为红线与两条垂直线交叉，我们将有2个类。一个类包括样本（1,2,4），另一个类包括样本（3,5）。非常清晰对吗?
这就是我们在层级 聚类 中使用树状图确定类的数量的方式。在下一部分，我们将实际应用层级 聚类 帮助你理解本文中所学到的概念。
使用层级 聚类 来解决批发顾客 分类问题
是时间开始用Python了！
我们将开始解决一个批发顾客 分类问题 。你可以在这里下载数据集（https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/00292/Wholesale%20customers%20data.csv）。
这个数据托管在UCI 机器学习 知识库 当中。本问题的目标是对一个批发商的顾客基于他们在不同产品类型（例如牛奶、食品杂货、地区等等）的年度开支进行分类。
让我们先来探索一下数据，然后再利用层级 聚类 进行顾客分类。
首先导入所需的函数库：
view rawimporting_libraries.py hosted with by GitHub
https://mp.weixin.qq.com/cgi-bin/appmsg?t=media/appmsg_edit&action=edit&type=10&appmsgid=100034460&isMul=1&isSend=0&token=886063492&lang=zh_CN#file-importing_libraries-py
加载数据集然后看一下前几行：
view raw
https://gist.github.com/PulkitS01/8ac9bf3b54eb59b4e1d4eaa21d3d774e/raw/6cea281dc4dea42bbcb2160e6cef1535cad765e7/reading_data.py
这里有很多产品种类——生鲜、牛奶、杂货等等。数值代表被每个顾客所购买的数量。我们的目标是从这个数据中进行类的划分，可以把相似的顾客划归到同一类。我们将使用层级 聚类 解决这个问题。
但是在实际应用层级 聚类 解之前，我们需要把数据集进行归一化以便于所有变量的尺度是相同的。为什么这一步很重要呢？因为如果变量尺度不同，模型偏向那些拥有更大量级的变量像是生鲜或者牛奶（如上表格）。
所以，先将数据归一化，把所有变量放到同一尺度。
在这里，可以看到所有变量的尺度几乎是相似的。现在，我们可以开始进行层级 聚类 了。首先画出树状图来帮助我们决定这个问题当中簇的数量：
X轴为样本，y轴表征样本之间的距离。距离最大的垂直的线是蓝色的线，因此我们可以决定阈值为6，然后切断树状图：
这条线有两个交点，因此我们有两个簇。让我们使用层级 聚类 ：
在我们定义2个簇之后，我们可以看到输出结果中0 和1的值。0代表属于第一个簇的值，而1代表属于第二个簇的值。现在将两个簇进行可视化：
太棒了！我们现在可以清晰地看到两个簇。这是我们用Python来实现层级 聚类 的过程。
写在最后的话
层级 聚类 是一种非常有用的划分观察值的方法。优势在于无需预定义集群数量，这使它比k-Means更具优势。
如果你对 数据科学 还比较陌生，强烈建议你学习实用 机器学习 课程(https://courses.analyticsvidhya.com/courses/applied-machine-learning-beginner-to-professional?utm_source=blog&utm_medium=beginners-guide-hierarchical-clustering)。这是你可以在任何地方找到的最全面的端到端的 机器学习 课程之一。层级 聚类 只是课程中涵盖的众多主题之一。
原文标题：
A Beginner’s Guide to Hierarchical Clustering and how to Perform it in Python
原文链接：
https://www.analyticsvidhya.com/blog/2019/05/beginners-guide-hierarchical-clustering/
编辑：王菁
校对：杨学俊
译者简介
陈超 ， 北京大学 应用心理硕士在读。本科曾混迹于计算机专业，后又在心理学的道路上不懈求索。越来越发现 数据分析 和编程已然成为了两门必修的生存技能，因此在日常生活中尽一切努力更好地去接触和了解相关知识，但前路漫漫，我仍在路上。
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