积分 是 微积分 学与 数学分析 里的一个核心概念。通常分为 定积分 和 不定积分 两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数 区间 上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的 曲边梯形 的面积值（一种确定的 实数 值）。

积分的一个严格的数学定义由 波恩哈德·黎曼 给出（参见条目“ 黎曼积分 ”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种 积分域 上的各种类型的函数的积分。比如说， 路径积分 是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在 面积积分 中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对 微分形式 的积分是微分几何中的基本概念。

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。 黎曼积分对 初等函数 和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到 测度空间 里。

勒贝格积分的概念定义在 测度 的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间 A = [ a , b ] 的 勒贝格测度 μ( A )是区间的右端值减去左端值， b − a 。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。

给定一个集合

上的一个测度

，那么对于

中的一个元素

，定义指示函数

的积分为：

再定义可测的非负简单函数

）的积分为：

对于一般的函数

，如果对每个区间(a,b]，都满足

，那么测度论中定义f是可测函数。对于一个 非负的可测函数 f，它的积分定义为：

为简单函数，并且

这个积分可以用以下的方式逼近：

直观上，这种逼近方式是将f的值域分割成等宽的区段，再考察每段的“长度”，用其测度表示，再乘以区段所在的高度。

至于一般的（有正有负的） 可测函数 f，它的积分是函数曲线在x轴上方“围出”的面积，减去曲线在x轴下方“围出”的面积。严格定义需要引进“正部函数”和“负部函数”的概念：

。

哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见 哈尔测度 。

伊藤积分 ：由 伊藤清 于二十世纪五十年代引入，用于计算包含 随机过程 如 维纳过程 或 半鞅 的函数的积分。 ^{Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 Burton, David M. (2005), The History of Mathematics: An Introduction (6th ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5 Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6}