$\lbrace \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \rbrace = \frac{\partial f}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \overrightarrow{k} \tag{1}$

为函数$u=f(x,y,z)$在点$P$处的梯度，记为$gradf(x,y,z)$ 或 $\nabla f(x,y,z)$。其中： $\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{\partial}{\partial z} \overrightarrow{k}$ 被称为三维向量的微分算子。

散度（标量） 散度 $\nabla\cdot$（divergence）可用于表针空间中各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当 $div(F)>0$ ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当 $div(F)<0$ 表示该点有吸收能量的负源（洞或汇）；当 $div(F)=0$ ，表示该点无源。

拉普拉斯算子 ： 拉普拉斯算子（Laplace Operator）是 $n$ 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（ $\nabla f$ ）的散度（ $\nabla\cdot$ ）。 $\Delta f = \nabla^2f = \nabla \cdot \nabla f= div(gradf)$。 在笛卡尔坐标系下，拉普拉斯算子可以被表示为：

$\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} \tag{2}$

推广到$n$维空间中的形式为:

$\Delta = \sum \limits_{i} \frac{\partial^2f}{\partial x^2_i} \tag{3}$

如果将其推导到离散的形式下：

$\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \\ =f(x+1, y) + f(x-1,y) - 2f(x,y) + f(x,y+1) - 2f(x,y) \\
=f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1) - 4f(x,y) \tag{4}$

现在用 散度 的概念解读一下：

如果 $\Delta f = 0$ ，可以近似认为中心点 $f(x,y)$ 的势和其周围点的势是相等的， $f(x,y)$局部范围内不存在势差。所以该点无源
$\Delta f > 0$ ，可以近似认为中心点 $f(x,y)$ 的势低于周围点，可以想象成中心点如恒星一样发出能量，补给周围的点，所以该点是正源
$\Delta f < 0$ ,可以近似认为中心点 $f(x,y)$ 的势高于周围点，可以想象成中心点如吸引子一样在吸收能量，所以该点是负源
另一个角度，拉普拉斯算子计算了周围点与中心点的梯度差。当 $f(x,y)$ 受到扰动之后，其可能变为相邻的 $f(x+1,y), f(x-1,y), f(x,y+1), f(x,y-1)$ 之一，拉普拉斯算子得到的是对该点进行微小扰动后可能获得的总增益 （或者说是总变化）。

我们现在将这个结论推广到图 ： 假设具有 $N$ 个节点的图 $G$ ，此时以上定义的函数 $f$ 不再是二维，而是 $N$ 维向量： $f=(f_1,f_2,…,f_n)$ ，其中 $f_i$ 为函数 $f$ 在图中节点 $i$ 处的函数值( 注意：在实际中这个‘函数值’通常不是一个标量，而是一个高维向量，表征某个特征信息 )。类比于 $f(x,y)$ 在节点 $(x_i,y_i)$ 处的值。对 $i$ 节点进行扰动，它可能变为任意一个与它相邻的节点 $j \in N_i$ , $N_i$ 表示节点 $i$ 的一环邻域节点。

通过公式(4)，可以推广得到下面公式

$\Delta f_i = \sum \limits_{j \in N_i}W_{ij}(f_i - f_j) \tag{5}$

其中， $W_{ij}$表示的边的权重， $N_i$表示节点$i$的一环邻域。当$W_{ij} = 1$时，我们继续化简公式，可以得到：

$\Delta f_i = \sum \limits_{j \in N_i}W_{ij}(f_i - f_j) \\
=\sum \limits_{j \in N_i}W_{ij}f_i - \sum \limits_{j \in N_i}W_{ij}f_j \\
=d_if_i - \sum \limits_{j \in N_i}W_{ij}f_j \tag{6}$

我们把$d_i$记为节点$i$的度，那么我们可以得到对于$f=(f_1, f_2, \cdots,f_n)$的拉普拉斯矩阵为：

$\Delta f = Df - Wf \\
=(D-W)f \\
= \left(\begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & d_2 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & 0 & \cdots & d_{n-1}& 0 \\ 0 & 0 & \cdots\ & 0 & d_{n}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}\right) f \\
= Lf \tag{7}$

其中，当边的权重$W_{ij}$均为1时，$D,W$分别为关于网（graph)的度矩阵和邻接矩阵。

离散化拉普拉斯算子有多种表示形式，主要差别是符号，缩放因子上的差别。

公式(7)中的$W_{ij}$有不同的选择，比较常见的有常数1，度的倒数$\frac{1}{d_i}$, 余切权重 $\frac{\cot \alpha_{ij} + \cot \beta_{ij}}{2}$, $\alpha$和$\beta$为空间四边形$aibj$的相对角