数学知识篇21：一元一次不等式组
这一期我们一起来学习一元一次不等式组。
知识点
1．一元一次不等式组：
把两个 「或两个以上的」 一元一次不等式合起来，组成一个 一元一次不等式组．
【举例】 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} \frac1 2 x−3 ≥ 1200 \\ x+8 < 4x−1 \\ \end{array} \right. \end{equation} 、 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} 2x−6 ≥ 0 \\ −x < 6 \\ \frac1 3 x−5 > 0 \end{array} \right. \end{equation} 都是一元一次不等式组； \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} x > 2\\y < 4 \\ \end{array} \right. \end{equation} 不是一元一次不等式组.
「注意」： 在判断是不是一元一次不等式组的时候，要注意以下两点。
① 一元一次不等式组中的不等式所含未知数必须相同；
② 一个一元一次不等式组中可以有不止两个一元一次不等式.
2．不等式组的解集：
一般地，几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集；当几个不等式 的解集没有公共部分时，不等式组无解．
这里可以用下面表格中的数轴或者口诀进行判断不等式的解。
3．解不等式组：
求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
4．解一元一次不等式组的一般步骤：
先求出不等式组中各个不等式的解集，再把它们分别表示在数轴上，然后利用数轴确定不等式组的解集．
这里需要注意，在数轴上我们找的是双横线重合的部分。口诀中的“大小小大”其实就是“大于比较小的数，小于比较大的数”；“大大小小”是“大于比较大的数，小于比较小的数”.
对于口诀，我希望大家能够理解并熟练应用，实在接受不了，那就用画数轴的方法去做。
这部分的知识点大概就这么多，我们一起来看看例题吧！
例1：解不等式组 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c}3x ⩾ 2x−2\\ \frac{1−x} 3 > \frac{x−1} 4 \\ \end{array} \right. \end{equation} ，将解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的所有整数解．
极简分析： 这道题只需要用我们之前学过的解一元一次不等式的方法将它解出来，再利用今天学过的知识去合并即可。
解第一个不等式：
\begin{eqnarray} \label{eq} 3x&\geq&2x-2 \nonumber \\ 3x-2x&\geq&-2 \nonumber \\ x&\geq&-2 \nonumber \\ \end{eqnarray}
解第二个不等式：
\begin{eqnarray} \label{eq} \frac{1−x} 3 &>& \frac{x−1} 4\nonumber \\ 4(1-x)&>&3(x-1) \nonumber \\ 4-4x&>&3x-3 \nonumber \\ -4x-3x&>&-3 -4\nonumber \\ -7x&>&-7\nonumber \\ x&<&1\nonumber \\ \end{eqnarray}
因为 -2 小于 1 ，所以 x 大于比较小的数，小于比较大的数，根据口诀“大小小大中间找”所以 -2\leq x <1 .
在数轴上表示出来：
这里需要注意，我们要找的是所有整数解， -2 是可以取到的， 1 是取不到的。所以整数解是 -2,-1,0 .
解： \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c}3x ⩾ 2x−2 \ \ \ \ \ \ ①\\ \frac{1−x} 3 > \frac{x−1} 4 \ \ \ \ \ \ \ \ ② \\ \end{array} \right. \end{equation}
解不等式 ① 得 x\geq-2
解不等式 ② 得 x<1
将不等式的解集在数轴上表示出来
原不等式组的解集为 -2\leq x <1
原不等式组的所有整数解为 -2,-1,0 .
总结： 一定要注意，“ \leq ”和“ \geq ”是能取到的，“ < ”和“ > ”是取不到的。
例2：解不等式组： \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} 4x−10 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ ①\\ 5x+2 > 3x \ \ \ \ \ \ \ \ ②\\ 11−2x ⩾ 1+3\ \ ③ \end{array} \right. \end{equation}
极简分析： 在解决含有多个不等式的时候，可以分开考虑，比如先把大于的放在一起，根据“同大取大”，大于最大的那个数；再把小于的放在一起，根据口诀“同小取小”，找出那个小于最小的那个数。然后根据口诀“大小小大中间找”，“大大小小没得找”去判断该不等式组的解集。
也可以画数轴，如果是三个不等式，去找三条横线重合的部分。但是很明显，不等式一多就会很麻烦，所以还是建议尽量用第一种方法。
\begin{eqnarray} \label{eq} 4x−10& < &0\\ 4x&<&10\nonumber \\ x&<&\frac{5}{2} \nonumber \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \label{eq} 5x+2 &> &3x \\ 5x-3x&>&-2\nonumber \\ 2x&>&-2 \nonumber \\ x&>&-1 \nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \label{eq} -2x-3x &\geq &1-11 \\ -5x&\geq&-10\nonumber \\ x&\leq&2 \nonumber \\ \end{eqnarray}
结合起来可以判断出 -1<x \leq2
解： \begin{equation} \left\{ \begin{array}{c} 4x−10 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ ①\\ 5x+2 > 3x \ \ \ \ \ \ \ \ ②\\ 11−2x ⩾ 1+3\ \ ③ \end{array} \right. \end{equation}
解不等式 ① 得 x<\frac{5}{2}
解不等式 ② 得 x>-1
解不等式 ③ 得 x\leq2
所以原不等式组的解集为 -1<x \leq2
总结： 对于含有多个不等式的不等式组，一定要按上面给出的方法逐步去做。
例3： 已知三个非负数 a、b、c 满足 3a+2b+c = 5 和 2a+b−3c = 1 ，若 m = 3a+b−7c ，求 m 的最大值和最小值.
极简分析： 因为上面的两个方程属于三元一次方程，但是只有两个方程，我们没有办法求出 a,b,c 的值，所以只能去找其中的关系。
我们可以根据 a,b,c 的关系，将 m 用一个字母表示出来，找利用题目中的“非负数”去求解即可。
解： \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3a+2b+c = 5 \ \ \ \ \ \ ①
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2a+b−3c = 1\ \ \ \ \ \ ②
② \times2 得 \ \ \ \ \ \ 4a+2b-6c=2\ \ \ \ \ \ ③
③ - ① 得 \ \ \ \ \ \ a-7c=-3
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=7c-3 \ \ \ \ \ \ \ \ ④
将 ④ 代入 ② 得 14c-6+b-3c=1
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=7-11c
m = 3a+b−7c
\ \ \ =21c-9+7-11c-7c
\ \ \ \ =3c-2
∵ a、b、c 为非负数
∴ a\geq0\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ 7c-3\geq0\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ c\geq\frac{3}{7}
\ \ \ b\geq0\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ 7-11c\geq0\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ c\leq\frac{7}{11}
\ \ \ \ c\geq0
所以 \frac{3}{7}\leq c\leq\frac{7}{11}
当 c=\frac{7}{11} 时 m_{max}=3\times\frac{7}{11}-2=-\frac{1}{11}
当 c=\frac{3}{7} 时 m_{min}=3\times\frac{3}{7}-2=-\frac{1}{11}
总结： 这道题还是存在一定的难度，将 m 用 c 表示 出来的时候，一定不要忽视题目中给出的隐含条件 a、b、c 是三个非负数，这才是我们解题的关键。
一元一次不等式组的知识到这里就结束了， 一定要会解含有多个不等式的不等式组，熟记口诀，多练习。
我是影子老师，关注我了解更多初中数学相关的内容！
