利用定积分定义求极限的原理与套路，你会了吗？

（一）定积分的定义

定义部分，容宝刀君偷个懒，直接从百度百科中截图过来，需要着重理解的三部分我用红虚线标注了出来：

定积分的定义用公式表示就是：

对于定积分的定义，我们知道有四个步骤：

分割、近似、求和、取极限。

其中，分割是任意的分割，想怎么分就怎么分，任意分！ 分割的目的在于第二步的代替。

代替什么呢？就是“化曲为直”，用直线来近似代替那段曲线，为什么这时候能够用直线来近似代替那段曲线了？就是因为第一步的分割呀！因为你第一步的分割分的让每个子区间足够小，小的让在小区间内随便取一点，代入到被积函数中，它的值都一样！既然都一样了，此时就可以将曲线看成直线了，此时这段小区间的面积就可以近似看作是小矩形的面积，宽就是小区间长度，长就是将这一点代入被积函数后的值。

那么，考研里面对定积分的定义怎么考呢？这里借用 杨超 老师的言论： “考研里面是对定积分的定义做了两步的改进！ ”哪两步呢？就是第一步的分割和第二步的近似！

大家对照着上面的图一，看看上面讲的n等分法，这就是考研里面的特殊分割！ 你之前是任意分割，现在我就取个特殊，我将这个区间分成 n等份，每一份的区间长度都是n分之一。

而近似呢，你之前的定义是说取小区间的任意一点，我这时候就 取个特殊点 ， 我取每个小区间的右端点！ 把这个右端点代入到被积函数中，用它的函数值来近似代替这段曲线上的每一点值，即：

正是因为有了上面两步的特殊改进，才有了下面的0到1区间上的积分表达式：

对于这个积分表达式，宝刀君需要提醒大家的是：

你要想明白1/n代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个宽！

小f这个函数代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个长！

因此，对于若干项和的极限，你关注的焦点就是在这两个因子上！即提取配凑出这面积微元！

（二）利用定积分定义求极限的题目特征

在哪些题目需要考虑用定积分的定义？或者说这类题目有什么样的特征？这里宝刀君引用“汤神”课堂上的讲解笔记，给大家解释下。

汤老师是这样总结的： 用定积分定义求极限的题目具有如下的特征：

1、分子齐（都是1次或0次）；

2、分母齐（都是2次）；

3、分母比分子多一次；

这里的“齐”是什么意思呢？举两个例子就明白了：

比如说例1这个题：

这个题，他的分母都是2次，是齐的，分子都是1次，分母比分子多一次。

又比如例2：

这个题，它的分母都是1次，是齐的，分子都是0次（因为都是1，可以看做是0次方），分母比分子多一次。

像上面这两道题，就是典型的利用定积分定义做的。两道题的求解步骤分别如下所示：

（三）利用定积分定义求极限的求解步骤总结

知道了具有什么样的特征的式子要用定积分来求解，接下来就需要弄明白三件事：面积微元怎么凑？

被积函数怎么定？

积分上下限如何定？

宝刀君查阅资料后，替大家整理好了，步骤如下：

1、通过恒等变形，将待求数列极限化为特殊形式的积分和

即化成：

之所以提出来1/n，正是因为它是那个小矩形的宽，而小f这个函数代表的就是矩形的长。这两个乘起来，就构成了面积微元。

2、寻找被积函数 f 以及确定积分上下限：

3、根据定积分的定义，写成定积分：

4、计算定积分，得所求极限为：

其中大F为小f的原函数。

总结一下 ：当你拿到一个若干项和求极限的题目时，如果它恰好符合利用定积分的定义来做，那么这时候就要在心里问自己两个问题了：

我的被积函数在哪里？积分上下限在哪里？

通过提取出1/n，得到面积微元的小矩形的宽，通过得到小f(x)得到小矩形的长，两者乘起来进行累加，就是定积分！

考研题目里面，如果出现了这种题，大家完全可以按照宝刀君上面讲的这个套路进行处理，如果再出的难一些，无非就是将夹逼定理和放缩法联系在一块，综合起来进行处理。

既然已经说到有可能出这种题了，就给大家一道，大家可以尝试着做一做：

最后说下什么是考研题？

考研题，考的就是至少两个知识点的综合！

这部分题型其实命题人就是在考你是否理解了定积分的定义，同时，他还考了你求极限，甚至再联合放缩法、夹逼定理来一块考你！所以呀，复习还是得扎实！概念理解清楚后，再做大量的习题进行总结！如果哪块知识点自己不会总结了或者想看看别人是怎么总结的，可以联系我，宝刀君替你来整理~

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